Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela intersecção das superfícies:

No ponto P de coordenadas

Solução:

A primeira superfície é mais simples de perceber que é um cilindro. A segunda é um paraboloide. As superfícies podem ser vistas, separadas, abaixo:

Colocando elas juntas, temos:

Cálculo da curva da intersecção das superfícies:

Se há intersecção, então os valores de x, y e z devem ser iguais nas duas superfícies. A primeira superfície pode ser parametrizada da seguinte forma:

Porém, das Relações Trigonométricas temos que Sen²(a) + Cos²(a) = 1. Assim:

Podendo ser feita a igualdade:

A equação paramétrica fica:

Como z pode assumir qualquer valor pois não é dependente de x nem de y na primeira superfície, então sua forma parametrizada pode ser z = z. Ficando, portanto:

A outra superfície tem equação z = x² + y²
Assim, a curva de intersecção das superfícies na sua forma parametrizada é:

Ou seja, a curva é uma circunferência de raio 2 na altura z = 4. Veja na figura abaixo a curva em cor vermelha:

O que o exercício pede é a reta tangente à curva de intersecção no ponto P.
Esta reta terá equação do tipo

Onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. Porém, como ela é tangente no ponto P então o coeficiente angular da reta deve ser a derivada de y em relação a x. A derivada pode ser calculada por:

Mas, no ponto P temos que:


Logo:



Assim,



Com isso, já é possível determinar a equação da reta:



Como ela passa pelo ponto P:



A equação da reta fica:



A parametrização pode ser feita da seguinte forma:



Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Abaixo a figura com o ponto P em verde e em preto, a reta tangente:

Aproximando um pouco mais:

Exercício Resolvido - Paradoxo do aniversário

Probabilidade de se ter duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas.

Em um grupo de n pessoas escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia?
Qual deve ser o menor valor de n para que a probabilidade seja superior a 95%?

Solução:
A solução deste exercício, como de qualquer exercício de probabilidade, pode ser calculando-se os casos
favoráveis e somar todos eles, porém neste caso este procedimento é muito custoso e desnecessário. Perceba no caso de n = 4. Teríamos que calcular a probabilidade de 2 fazerem aniversário no mesmo dia, depois de 3 fazerem e depois os 4. Agora imagina este valor de n aumentando... Neste caso, é muito mais simples o cálculo dos casos que não estamos interessados (ou seja, todos fazerem em datas diferentes) e com isso, subtraindo de 1 sabemos a probabilidade que desejamos. Façamos para n = 4 das duas formas para que se verifique que o resultado é o mesmo:

Caso1: apenas 2 pessoas fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário na data D $ \rightarrow $ probabilidade = 1 já que ela deve fazer aniversário em algum dia;
- A segunda faz em D também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365} $
- A terceira faz em outra data qualquer $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $
- A quarta faz numa data diferente de D e diferente da terceira pessoa $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{363}{365} $
Neste caso temos 6 combinações possíveis:
$$ P_1 \, = \, 6 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \right ) $$

Caso2: dois a dois fazem aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário no dia D;
- A segunda pessoa faz aniversário no dia E diferente de D $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{364}{365} $;
- A terceira faz aniversário junto com a primeira $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
- A quarta faz junto com a segunda $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
Neste caso há três combinações:
- 1ª com 2ª e 3ª com 4ª;
- 1ª com 3ª e 2ª com 4ª e;
- 1ª com 4ª e 2ª com 3ª.
Assim:
$$ P_2 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \right ) $$

Caso3: três fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira faz no dia D;
- A segunda também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A terceira também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A quarta faz em outra data $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $;
Temos aqui três combinações também, ficando:
$$ P_3 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \right ) $$

Caso4: Todos fazendo aniversário na mesma data: Neste caso não há combinações por ser uma condição única, portanto não aparece termo multiplicando:
$$ P_4 \, = \, 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} $$

A probabilidade total será:
$$ P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \, \approx \, 0,0163 $$

Porém, a probabilidade de todos fazerem aniversário em datas diferentes é:
$$ P_{dif} \, = \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365}  $$
Assim:
$$ P \, = \, 1 \, - \, P_{dif} \, \approx \, 0,0163 $$

Portanto, a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas é de:

$$ P \, = \, 1 \, - \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times ... \times \frac{366-n}{365} $$

Em termos gerais, temos que a probabilidade é dada por:

$$ P \, = \, 1 \, - \, \frac{365!}{365^n \times (365-n)!} $$

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Veja também:
Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto

Exercício Resolvido - Prova CORSAN 2014: Probabilidade

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Assim, o menor valor de n para que a probabilidade seja maior que 95% é de n = 47, onde P $\approx$ 95,5%. Perceba que num grupo de 47 pessoas, é quase certo que duas delas façam aniversário na mesma data. O interessante é que para que a probabilidade seja 100%, é preciso um grupo de 365 pessoas. Assim, ao acrescentar mais pessoas a um grupo de 47, a probabilidade pouco se altera.

Outro exemplo é o caso de um jogo de futebol. Considerando o juiz e os auxiliares, temos 25 pessoas. A probabilidade de pelo menos dois fazerem aniversário no mesmo dia é de 56,87%.

Calcule a probabilidade de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia na sua sala de aula e verifique!

Exercício Resolvido - Continuidade, limite e derivada parcial

Seja a função $ f: \Re ^2 \, \rightarrow \, \Re $ dada por:
$$ f(x,y) =
\left \{
\begin{array}{cc}
\frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4}, & (x,y) \neq (0,0) \\
0, & (x,y) = (0,0) \\
\end{array}
\right. $$

mostre que ela é contínua em (0,0) e determine as derivadas parciais $ f_x (0,0) $ e $ f_y (0,0) $.

Solução:
Para verificar a continuidade devemos calcular o limite abaixo e ele deve dar zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } \frac{ x^3 y^2 }{x^4 + y^4} $$

Para continuar, é preciso perceber que todo valor ao quadrado é positivo ou zero, assim:
$ \left ( x^2 \, - \, y^2 \right )^2 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, - \, 2 x^2 y^2 \, + \, y^4 \, \geq \, 0 $
$ x^4 \, + \, y^4 \, \geq 2 x^2 y^2 $
$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $

Como só temos termos ao quadrado e à quarta, $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ certamente não é negativo, assim:

$$ \frac{1}{2} \, \geq \, \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, \geq \, 0 $$

Logo, o termo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} $ é limitado. Assim, fazendo a igualdade e substituindo $ \frac{x^2 y^2}{x^4 \, + \, y^4} \, = \, t $ temos:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) } x \times \left ( \frac{ x^2 y^2 }{x^4 + y^4} \right ) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} $$

Como $ x \, \rightarrow \, 0 $ e $ t $ é limitado, o limite é zero:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) }{ x \times t} \, = \, 0 $$

Perceba na figura a seguir como realmente a superfície tende a zero em qualquer direção:

Veja também:
Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies
Exercício Resolvido - Multiplicadores de Lagrange
Exercício Resolvido - Pontos de máximo, mínimo e sela

As derivadas parciais no ponto (0,0) devem ser calculadas pela definição:

$$ f_x (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{h^3 0^2}{h^4+0^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$
$$ f_y (0,0) \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h}} \, = \, \lim_{h \rightarrow 0 }{ \frac{0^3 h^2}{0^4+h^4}} \, - \, 0 \, = \, 0 $$

Logo:

$$ f_x(0,0) \, = \, 0 $$
$$ f_y(0,0) \, = \, 0 $$

Veja na figura a seguir a reta f(x,0) em vermelho e a reta f(0,y) em amarelo. Perceba que elas não variam e são identicamente nulas, ou seja, f(x,0) = 0 e f(0,y) = 0 para qualquer valor de x ou y. Isso garante que a derivada parcial destas funções no ponto (0,0) deve ser zero pois a função não varia nas direções (1,0) e (0,1), confirmando o que foi obtido anteriormente. Ainda, para ser mais abrangente, as derivadas parciais serão sempre nulas se x = 0 ou se y = 0 (ou, claro, se ambos forem nulos).

Espaço vetorial finitamente gerado, Dependência linear e Base de um espaço vetorial finitamente gerado

ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO

A forma mais fácil de se entender o que isso significa é através de exemplos. Considere o conjunto dos números reais. Este conjunto é um espaço vetorial sobre ele mesmo (Veja O que é um espaço vetorial) segundo a soma e a multiplicação que conhecemos.

Agora, seja o conjunto S = {1}, onde S $ \subset \, \Re $. É muito fácil perceber que qualquer valor real pode ser obtido através de uma Combinação Linear de {1}.

Exemplo:

$ 4,123904 \, = \, 4,123904 \times 1 $

$ \pi \, = \, \pi \times 1 $

$ \sqrt{2} \, = \, \sqrt{2} \times 1 $

Desta forma, $ \Re $ é um espaço vetorial finitamente gerado onde S gera $ \Re $. Infinitos outros conjuntos podem ser geradores de $ \Re $. O {1} é apenas um exemplo bastante didático para se utilizar, já que fica muito fácil perceber.

Para $ \Re ^2 $ é bastante simples de perceber que S = {(1,0) , (0,1)} é um conjunto gerador, porém S = {(-1,1) , (1,1)} também é um conjuntos gerador de $ \Re ^2 $. Veja:

Exemplo:

$ \left (4,10 \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $

$ \alpha \, = \, 3 , \, \beta \, = \, 7 $

Assim, para qualquer $ \left (a,b \right ) \, \in \, \Re ^2 $ temos que:

$ \left (a,b \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $

$ \alpha \, = \, \frac{a-b}{2} , \, \beta \, = \, \frac{a+b}{2} $

O que garante que S = {(-1,1) , (1,1)} gera $ \Re ^2 $

Assim, definimos:
Um espaço vetorial V é finitamente gerado quando existe um conjunto S $ \subset $ V, S finito, onde S gera V.

DEPENDÊNCIA LINEAR

Definição: Um conjunto S = { $ u_1 , \, u_2 , \, u_3 , \, ... $ } $ \subset $ V é linearmente independente se, e somente se, a relação $ \alpha _1 u_1 + \alpha _2 u_2 + \alpha _3 u_3 + ... = o , \, \alpha _i \, \in \, \Re $ só existir  para $ \alpha _1 = \alpha _2 = \alpha _3 = ... = 0 $.

Exemplo:
S = {(-1,1) , (1,1)}
$ \alpha _1 \times \left (-1,1 \right ) + \alpha _2 \times \left (1,1 \right ) \, = \, o $
$ - \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0 $
$ \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0  $

Que só é possível se $ \alpha _1 = \alpha _2 = 0 $. Assim, o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é linearmente independente.

Veja também:
O que é um espaço vetorial
Propriedades de um Espaço Vetorial

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO

Um conjunto S $ \subset $ V é uma base de V se:
1 - S gera V e;
2 - S é linearmente independente.

Com essas condições podemos concluir que o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é uma base de $ \Re ^2 $.
Podemos perceber também que S = {1} é uma base de $ \Re $ e S = {(1,0) , (0,1)} é outra base de $ \Re ^2 $.

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Sub-espaço Vetorial

Definição: Dado um espaço vetorial $ V $ sobre $ \Re $, um sub-espaço vetorial de $ V $ é um conjunto $ W \,  \subset \, V $, que apresenta as seguintes propriedades:
a) $ o \, \in \, W $

b) $ \forall u, \, v \, \in \, W, \, u \, + \, v \, \in \, W $
c) $ \forall \alpha \, \in \, \Re $ e $ \forall u \, \in \, W, \, \alpha u \, \in \, W $

Com estas propriedades é possível verificar a Proposição I abaixo:

Proposição I - Se $ W $ é um sub-espaço vetorial de $ V $, então $ W $ também é um espaço vetorial sobre $ \Re $.

A prova deve ser feita verificando os oito itens que definem um Espaço Vetorial (Veja O que é um Espaço Vetorial)

Faremos alguns, apenas para demonstrar:
I-a)
Este item é praticamente direto, já que todo elemento de $ W $ é também elemento de $ V $, já que $ W \, \subset \, V $, assim, sejam $ u, \, v \, \in \, W $, temos que $ u, \, v \, \in \, V $, logo certamente $ u \, + \, v \, = \, v \, + \, u $, já que $ V $ é um espaço vetorial.

I-d)
Para mostrar que um sub-espaço satisfaz este item, basta usar a definição c) acima e fazer $ \alpha \, = \, -1 $. Com isso mostramos que no sub-espaço $ W $ possui o elemento oposto.

Combinação Linear

Adotando $ V $ um espaço vetorial. Sejam $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $ elementos de $ V $. Seja o conjunto de elementos formados da seguinte forma:
$$ \left [ L \right ] \, = \,  \left \{ \alpha_1 v_1 \, + \, \alpha_2 v_2 \, + \, \alpha_3 v_3 \, + \,  ... \, + \, \alpha_n u_n \, | \, \alpha_1, \, ... \, , \alpha_n \, \in \, \Re \right \} $$

É possível mostrar que [L] é um sub-espaço vetorial:
a) Basta fazer todos os $ \alpha \, = \, 0 $

b) Se $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \, e \, w \, = \,  \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + ... $ pertencem a [L].
Então:
$ v \, + \, w \, = \, ( \alpha_1 \, + \, \beta_1) v_1 \, + \, ( \alpha_2 \, + \, \beta_2) v_2 \, + \, ... $ também pertence, pois $ \left ( \alpha_n \, + \, \beta_n \right ) \, \in \, \Re, \, \forall n $

c) Seja $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... $
então
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \left ( \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \right ) $
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \alpha_1 v_1 + \alpha \times \alpha_2 v_2 + ...  $
Mas como $ \alpha $ e $ \alpha_n $ são números reais, então $ \alpha \times \alpha_n $ também será, o que garante que, para qualquer $ \alpha \, \in \, \Re $ e para qualquer $ v \, \in \, [L], \, \alpha \times v \, \in [L] $

Assim:
Cada elemento do sub-espaço [L] que acabamos de definir é uma combinação linear dos elementos $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Propriedades de um Espaço Vetorial

Após definir o que é um espaço vetorial, algumas propriedades podem ser observadas de forma quase imediata. A seguir veremos algumas delas:

Propriedade I: $\forall \alpha \, \in \, \Re, \, \alpha o \, = \, o$
Propriedade II: $\forall u \, \in \, V, \, u0 \, = \, 0$

Propriedade III: Se $\alpha u \, = \, o$ para $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, então ou $\alpha \, = \, 0!$ ou $u \, = \, o$
Propriedade IV: $\forall \alpha \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (-\alpha) u \, = \, \alpha (-u) \, = \, -(\alpha u)$
Propriedade V: $\forall \alpha \, \beta \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (\alpha \, - \, \beta)u = \alpha u \, - \, \beta u$

O que é um Espaço Vetorial

Exemplo:
Prove a Propriedade I:
Das definições de Espaço Vetorial II-c e I-c, temos que:
$\alpha o \, = \, \alpha (o \, + \, o) \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$
Seja a igualdade $\alpha o \, = \, \alpha o$
Somando $- \alpha o$ de ambos os lados da igualdade temos:
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \,$
Aplicando o que foi mostrado acima, onde $\alpha 0 \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$ temos
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \, + \, \alpha o \, = \, \alpha o$
Ou seja:
$o \, = \, \alpha o$

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

       

O que é um espaço vetorial?

Definição de um espaço vetorial

Definição: Um conjunto $V\, \neq \, \emptyset$ é um espaço vetorial sobre $ \Re $ se, e somente se, satisfizer as seguintes condições:

I - Existir uma adição em $V$ com as seguintes propriedades:

a) $u\, +\, v\, = \, v\, + \, u, \, \forall u , \, v \, \in \, V$

b) $u \, + \, (v \, + \, w) \, = \, (u \, + \, v) \, + \, w, \forall u, \, v , \, w \in \, V$

c) Existe em $V$ um elemento neutro para essa adição, simbolizado por $o$, onde:

$$u \, + \, o \, = \, u, \forall \, u \, \in \, V$$

d) Para todo elemento $u$ de $V$, existe seu oposto onde:

$$u \, + \, (-u) \, = \, o$$

II - Existir uma multiplicação $\Re \times V$ em $V$, ou seja, para todo par ($\alpha, u$) onde $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, existe um, e apenas um elemento $v$ de $V$ tal que $\alpha \times u \, = \, v$, e para essa multiplicação tem-se, $ \forall \, \alpha, \, \beta \, \in \, \Re$:

a) $\alpha ( \beta u) \, = \, (\alpha \beta)u$

b) $(\alpha \, + \, \beta)u \, = \, \alpha u \, + \, \beta u$

c) $\alpha ( u \, + \, v) \, = \, \alpha u \, + \, \alpha v$

d) $1u \, = \, u$

Veja também:
Propriedades de um Espaço Vetorial
Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear
Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

Portanto, qualquer que seja a "soma" e a "multiplicação" definidas em um conjunto tais que satisfaçam as condições acima, teremos que o conjunto é um espaço vetorial segundo esta soma e esta multiplicação.

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Exercício Resolvido - Integral

Calcule as seguintes integrais:
1) Cos²(x)*Tan³(x)

2) Sec⁴(x/2)

3) Senⁿ(x)

4) Sen⁴(x)

Solução:

1)

Mas, das relações trigonométricas temos:

Substituindo na integral:

Como há uma subtração no integrando, podemos separar em duas integrais

Simplificando a segunda integral temos:

Como a derivada de Cos(x) = -Sen(x), vou chamar Cos(x) de 'u', ou seja, Cos(x) = u, logo, derivando de ambos os lados -Sen(x)dx = du.

Fazendo a substituição nas integrais:

Onde k1 e k2 são constantes arbitrárias que podemos substituir por k1 + k2 = k. Porém, como u = Cos(x).

2) Neste, a integral será com limites:

Para utilizar a integração por partes:

Nomeando convenientemente cada um dos fatores do integrando:

Integrando por partes:

Substituindo Tan(x/2) = u, onde du = (1/2)Sec²(x/2)dx

Como u = Tan(x/2)

Como Tan(0) = 0

Veja também:
O que é Integral?
Exercício Resolvido - Integrais
Exercício Resolvido - Integral de √(4 /x⁴-x²)
Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas
Dedução da Área da elipse usando apenas conhecimentos de cálculo I

3) Integrando Senⁿ(x) por partes

Mas, das relações trigonométricas temos que Cos²(x) + Sen²(x) = 1, ou seja, Cos²(x) = 1 - Sen²(x)

Assim:

4) Usando o resultado do exercício 3) para n = 4, temos:

Para calcular a integral de Sen²(x) é possível utilizar o resultado obtido no exercício 3) também, para n = 2.

Onde C é uma constante qualquer.

Das relações trigonométricas temos que Sen(2x) = 2Sen(x)Cos(x)

Assim, substituindo:

Porém, como C é uma constante arbitrária, 3C/4 também será. Assim, para facilitar pode-se usar K = 3C/4