Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Determine a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo da figura abaixo sabendo que a esfera tangencia três faces do cubo e o plano secante formado pelo hexágono. Os pontos do hexágono são pontos médios das 6 arestas do cubo.

Solução:

Para definirmos a esfera é preciso conhecer as coordenadas do seu centro e o seu raio.

O exercício nos fala que a esfera tangencia 4 planos:

- Plano superior definido por z = a (onde a é a aresta do cubo e z o eixo vertical);

- Plano lateral esquerdo definido por y = 0;

- Plano frontal definido por x = a e;

- Plano formado pelo hexágono.

Dos planos tangentes sabe-se que o vetor formado pelo ponto central da esfera e o ponto de tangência é perpendicular ao plano tangente. Por exemplo, no caso do plano z = a (superior) se o ponto de tangência é definido por (x1, y1, a) e o ponto do centro da esfera definido por (xc, yc, zc) temos que o vetor V = (xc - x1, yc - y1, zc - a) é perpendicular ao plano z = a. Como o vetor (1, 1, 0) é paralelo ao plano z = a, então:

<(xc - x1, yc - y1, zc - a),(1,1,0)> = 0

O que nos leva que:

xc = x1

yc = y1

Este resultado é bastante intuitivo pois se a esfera é tangente ao plano z = a, então o centro dela terá coordenadas xc e yc iguais às coordenadas x1 e y1 já que este plano é paralelo ao plano formado pelo eixos xy. O mesmo raciocínio pode ser usado para os planos y = 0 e x = a. No caso de y = 0, seja (x2, 0, z2) o ponto de tangência da esfera. Assim, xc = x2 e zc = z2. Da tangência com o plano x = a, temos o ponto (a, y3, z3), neste caso, yc = y3 e zc = z3. Na figura abaixo fica mais fácil de perceber isso.

Na figura acima, em preto tracejado estão as reta que ligam o centro da esfera com os pontos de tangência nas faces do cubo e em verde, os pontos de tangência. Perceba que no caso do ponto de tangência com o plano superior do cubo, a linha que liga o centro da esfera com ele é totalmente vertical, logo as coordenadas x e y de ambos os pontos devem ser iguais. O mesmo raciocínio pode ser feito aos outros dois pontos. Assim, já podemos concluir que:

x1 = x2 = xc

y1 = y3 = yc

z2 = z3 = zc

Agora, verificando a tangência com o hexágono.

Como em qualquer caso de tangência de um plano com uma esfera, a linha que une o ponto de tangência com o centro da esfera é perpendicular ao plano.

Do plano do hexágono nós conhecemos 6 pontos (os vértices do hexágono). Com apenas três deles é possível definir um plano. Usarei os pontos (a/2, a, a), (0, a/2, a) e (a, a, a/2) para definir o plano.

Neste caso podemos definir dois vetores:

V1 = (a/2, a, a) - (a, a, a/2) = (-a/2, 0, a/2) = (-1,0,1)

V2 = (a/2, a, a) - (0, a/2, a) = (a/2, a/2, 0) = (1,1,0)

Com o produto vetorial destes vetores podemos obter o vetor perpendicular ao plano formado pelo hexágono. Este vetor é importante pois define o plano.

Assim, o plano é definido por:

<(-1,1,-1), (x-a, y-a, z-a/2)> = 0

-(x-a) + (y-a) - (z-a/2) = 0

-x + a + y - a - z + a/2 = 0

x - y + z = a/2

z = a/2 + y - x

Logo, podemos definir genericamente o ponto de tangência da esfera com o plano do hexágono:

P4 = (x, y, a/2 + y - x) 

já que este ponto pertence ao plano.

Assim, já conhecemos, genericamente, os 4 pontos de tangência, são eles:

P1 = (xc, yc, a)

P2 = (xc, 0, zc)

P3 = (a, yc, zc)

P4 = (x4, y4, a/2 + y4 - x4)

Porém, todos estes pontos pertencem à esfera, logo devem satisfazer a equação da esfera, dada por:

(x - xc)² + (y - yc)² + (z - zc)² = r²

Onde r é o raio da esfera.

Assim, para cada ponto temos:

P1:

(xc - xc)² + (yc - yc)² + (a - zc)² = r²

(a - zc)² = r²

zc = a - r

P2:

(xc - xc)² + (0 - yc)² + (zc - zc)² = r²

yc² = r²

yc = r

P3:

(a - xc)² + (yc - yc)² + (zc - zc)² = r²

xc = a - r

P4:

(x4 - xc)² + (y4 - yc)² + (a/2 + y4 - x4 - zc)² = r²

A equação para o ponto P4 ainda não vou desenvolvê-la pois vai ficar muito grande. É mais conveniente manter ela "guardada" a depois de obter outros resultados que possam simplificá-la, voltamos a ela.

Do plano formado pelo hexágono podemos definir dois vetores que serão úteis:

- Vetor com origem no centro da esfera e final no ponto de tangência com o hexágono:

V4 = (x4, y4, a/2 + y4 - x4) - (xc, yc, zc) = (x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc)

Este vetor é perpendicular ao plano, e portanto paralelo ao vetor V3 = (-1, 1, -1)

- Um vetor paralelo ao plano, com origem e término em quaisquer dois pontos do plano. Usarei os ponto:

(a, a/2, 0) e (0, a/2, a) para definir este vetor:

V5 = (a, a/2, 0) - (0, a/2, a) = (a, 0, -a) = (1, 0, -1)

Este vetor é paralelo ao plano e portanto perpendicular ao vetor V4.

Se V4 é perpendicular a V5, então o produto escalar entre eles será zero:

<(x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc), (1, 0, -1)> = 0

x4 - xc - a/2 - y4 + x4 + zc = 0

y4 = - xc - a/2 + 2x4 + zc

Como zc = xc

y4 =2x4 - a/2

Se V4 é paralelo a V3, então o produto vetorial entre eles é um vetor nulo:

Com os resultados que já obtemos até aqui, podemos simplificar o vetor V4:

V4 = (x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc) = (x4 - xc, 2x4 - a/2 - yc, a/2 + 2x4 - a/2 - x4 - zc)

V4 = (x4 - a + r, 2x4 - a/2 - r, x4 - a + r)

Assim, o produto vetorial fica:

Como o produto é um vetor nulo, temos que:

x4 = a/2

Assim:

y4 = 2x4 - a/2 = a/2

Voltando à equação (x4 - xc)² + (y4 - yc)² + (a/2 + y4 - x4 - zc)² = r², temos que:

(a/2 - a + r)² + (a/2 - r)² + (a/2 + a/2 - a/2 - a + r)² = r²

(-a/2 + r)² + (a/2 - r)² + (- a/2 + r)² = r²

Como (a/2 - r)² = (-a/2 + r)², pois ambos estão ao quadrado, temos:

Porém, a solução r1 é maior que a, o que é incompatível, já que o raio da esfera não pode ser maior que o lado do cubo. Portanto, o raio da esfera é igual a r2.

Assim, a razão entre os volumes vale:

A seguir é possível verificar a esfera, os planos tangentes e os pontos de tangência.

Princípio da indução finita

Definição e exemplos do princípio da indução finita

Este princípio é utilizado para a solução de diversos exercícios, porém ele serve apenas para aqueles que envolvem números inteiros e para exercícios que pedem que seja provado que algo é verdadeiro para um conjunto de valores inteiros.

Vou falar sobre o princípio utilizando a fórmula da soma da PA (Progressão Aritmética) para esclarecer.

 

Para isso, será necessário o uso da fórmula do termo geral da PA:

Voltamos ao método, que basicamente consiste em 3 etapas:

1ª Etapa - Dado um conjunto de valores inteiros que se deseja verificar a validade de algo proposto, deve-se verificar se é válido para o menor valor do conjunto.

No exemplo então, vamos verificar se a fórmula da soma da PA é válida para n = 1. Neste caso, é muito fácil perceber já que a soma será igual a a1, já que este é o único termo.

Vamos verificar se usando a fórmula o resultado é obtido:

O resultado obtido é correto, logo a fórmula da Soma da PA vale para o menor elemento do conjunto.

2ª Etapa - Assume-se que para um elemento 'k' qualquer e genérico do conjunto a fórmula é verdadeira.

Do exemplo vamos calcular a soma dos primeiros 'k' elementos do conjunto, neste caso, pela fórmula da soma da PA teremos que:

3ª Etapa - Assumindo que o resultado obtido na Etapa 2 seja verdadeiro, calculamos o resultado para 'k+1' e verificamos se obtemos a fórmula desejada.

Do exemplo usado temos então que a soma dos 'k+1' primeiros elementos é a soma dos 'k' primeiros elementos mais o elemento 'k+1'. Veja:

Observe que se usarmos a fórmula da soma da PA para calcular a soma dos 'k+1' primeiros termos (substituindo n = k+1) teremos exatamente o resultado acima. Portanto, provamos que a fórmula é válida sempre. Porém, por que podemos concluir isso? Por que o uso do princípio garante a validade da fórmula para qualquer quantidade de elementos?

Bom, tudo se resume às etapas que foram seguidas. 

Foi mostrado que para o primeiro elemento a fórmula é válida. 

Após isso, supomos na Etapa 2 que para um número de elementos 'k' qualquer ela é válida e a partir do resultado da Etapa 2 obtemos o resultado para 'k+1' e verificamos que ele é válido. A grande dúvida que surge é por que podemos garantir que o resultado obtido na Etapa 2 é válido?

Na verdade a gente não garante isso, apenas supõe. Porém se a partir do resultado da Etapa 2 pudermos obter um resultado satisfatório na Etapa 3 então o resultado é válido. O que garante isso é o seguinte raciocínio:

- Para o menor elemento a equação é válida;

- Então, se 'k' = 1 a nossa suposição da Etapa 2 é verdadeira, e não apenas uma suposição, já que mostramos na Etapa 1 isso;

- Mas na Etapa 3 nós mostramos que se 'k' é verdadeiro, então 'k+1' também é;

- Como para 'k' = 1 vimos que é verdadeiro na Etapa 1, então certamente para 'k+1' = 2 também será, como visto na Etapa 3;

- Mas se para 'k' = 2 é verdadeiro, então para 'k+1' = 3 também será;

- Mas se para 'k' = 3 é verdadeiro, então para 'k+1' = 4 também será;

- ...

Assim, o princípio garante que para qualquer 'k' ele é verdadeiro, desde que as etapas sejam satisfeitas.

Exercícios que o princípio foi usado:

Somatório de n²

Dedução da fórmula da soma da PG por indução

Aula sobre PG

Exercício Resolvido - Limite e função

Seja o conjunto de funções do tipo fn(x) = -(1/kn²)x + 2/kn, onde kn assume qualquer valor real positivo. Determine qual é a função g(x) formada pela intersecção de infinitas retas do tipo fn, conforme figura a seguir.

Solução:
Veja que na figura acima as retas do gráfico foram para os valores de k = n/3, para n = 1,2,3,...,12, conforme figura que segue:

Quando estas retas são sobrepostas é que é possível ver a tendência à formação de uma outra curva, neste caso ilustrada em preto na figura ilustrativa do exercício. Porém, é importante perceber que não é simplesmente a intersecção das retas que gera esta curva, mas sim a intersecção das retas mais próximas, ou seja, a intersecção da reta para k = 1/3 com a reta para k = 4 não fica na fronteira formadora da curva desejada. Além disso, a formação da curva acontece à medida que os valores de k se aproximam. Perceba na figura abaixo que, na verdade, a curva g(x) não passa pelos pontos de intersecção das retas, mas a medida que os valores de k se tornam mais próximos, o ponto de intersecção passa a se aproximar de g(x).

Neste caso, as retas foram formadas para k1 = 2 e k2 = 2/3.

Para k1 = 0,95 e k2 = 1,05 foi preciso dar um zoom na figura para poder ver exatamente o que acontece, pois o ponto de intersecção das retas se aproxima muito da curva em preto:

Veja que o ponto esta mais próximo, mas a curva g(x) ainda não passa por ele. Na verdade o ponto de intersecção das retas será um ponto da curva g(x) apenas no limite para k1 tendendo a k2.

Neste caso então, vou supor que k2 = k1 + eps, onde 'eps' é um valor muito pequeno, depois irei fazer ele tender a zero. Assim, substituindo na equação fn(x) temos:

Mas no ponto de intersecção, f1(x) = f2(x)

Assim, calculamos o valor de x no ponto de intersecção. Chamarei de xo:

Fazendo o limite para eps tendendo a zero, temos:

Substituindo na equação f1 para x = xo = k1 temos:

Obs.: Se xo = k1 fosse substituído na função f2, para k2 = k1 + eps com eps tendendo a zero, o resultado seria o mesmo, já que estamos procurando o ponto de intersecção.

Assim, temos que no limite, para k1 tendendo a k2 (ou seja, para eps tendendo a zero) o ponto de intersecção das curvas é dado pelo par ordenado (k1, 1/k1). Ou seja, y = 1/x. Logo, a função g(x) definida pelas retas é:

g(x) = 1/x

Veja a seguir o gráfico com 100 curvas e, no gráfico da direita em preto, a curva g(x) = 1/x

Exercício Resolvido - Inteiros de Gauss

O exercício resolvido neste post será o Problema 1 do capítulo "Inteiros de Gauss" do arquivo disponível no link http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/gauss.doc escrito por Guilherme Fujiwara.
Deste arquivo irei transcrever algumas definições e teoremas, conforme eles forem sendo usados, porém não serão disponibilizadas aqui as provas dos teoremas. Estas podem ser vistas no próprio documento.

Problema 1. Determine todos os pares x, y Î Z tal que y³ = x² + 1.

Solução:

y³ = x² + 1

y³ = (x + i)*(x - i)

onde

i² = -1.

INTEIROS DE GAUSS
Definimos o conjunto Z[i] dos inteiros de Gauss como Z[i] = {a + bi | a, b Є Z}, onde (i² = –1).

Fatoração única

Todo inteiro z de Gauss com norma maior que 1 pode ser escrito como o produto de um ou mais primos de Gauss. Além disso, esta fatoração é única.

Desta forma, como desejamos soluções pertencentes a Z para x e y, então (x + i) e (x - i) são inteiros de Gauss. Portanto, pela propriedade da fatoração única, cada um deles pode ser escrito como o produto de primos de Gauss, onde um primo de Gauss é definido por ser um inteiro de Gauss que não pode ser escrito pelo produto de dois inteiros de Gauss não unitários.

Assim:

(x + i) = (α1)ᵃ¹*(α2)ᵃ²*(α3)ᵃ³*...*(αk1)ᵃᵏ¹

(x - i) = (β1)ᵇ¹*(β2)ᵇ²*(β3)ᵇ³*...*(βk2)ᵇᵏ²

onde αn e βn são primos de Gauss e an e bn são os expoentes dos termos da fatoração.

Da fatoração acima, será necessário saber se existe algum α ou β iguais, ou seja, se algum dos primos da fatoração de (x + i) é igual a algum dos primos da fatoração de (x - i). O que se pode deduzir é que, se existe algum termo das fatorações de ambos que sejam iguais, então este primo também é um termo na fatoração de qualquer combinação aritmética (soma, subtração, divisão e multiplicação) entre eles.
Fazendo:
(x + i) - (x - i) = 2i
(x + i) + (x - i) = 2x
Portanto, caso exista algum α que seja igual a algum β, este é 2 (ou 2i, ou -2, ou -2i), já que as unidades dos inteiros de Gauss são 1, -1, i e -i.

Obs.: É importante perceber que o 2 não é, necessariamente, um termo da fatoração. O que se ressalta aqui é que se o 2 for termo da fatoração de um deles, então é dos dois e neste caso este seria o único termo em comum na fatoração de (x + i) e (x - i). Logo, qualquer α é diferente de qualquer β, exceto se um deles for 2.

Porém, da divisibilidade temos que:

Divisibilidade
Dizemos que para a, b Є Z[i], a|b (lê-se a divide b) se Ǝ c Є Z[i] tal que b = ac.

Logo, se 2ᵏ é fator da decomposição de (x + i), então existe um c = (a + bi) (inteiro de Gauss) tal que:

x + i = 2ᵏ*(a + bi)

x + i = 2ᵏ*a + 2ᵏ*bi

Ou seja:

2ᵏ*b = 1. Mas como b é um inteiro, então k = 0.

Portanto, a equação inicial fica:
y³ = [(α1)ᵃ¹*(α2)ᵃ²*(α3)ᵃ³*...*(αk1)ᵃᵏ¹]*[(β1)ᵇ¹*(β2)ᵇ²*(β3)ᵇ³*...*(βk2)ᵇᵏ²]

Porém, para que y seja inteiro, cada um dos expoentes a1, a2, a3, ..., ak1 e b1, b2, b3, ..., bk2 devem ser múltiplos de 3, já que todos os primos de Gauss α e β são diferentes. Desta forma podemos escrever a equação:
y³ = [(α1)ᵃ¹'*(α2)ᵃ²'*(α3)ᵃ³'*...*(αk1)ᵃᵏ¹'*(β1)ᵇ¹'*(β2)ᵇ²'*(β3)ᵇ³'*...*(βk2)ᵇᵏ²']³
Além disso:
(x + i) =  [(α1)ᵃ¹'*(α2)ᵃ²'*(α3)ᵃ³'*...*(αk1)ᵃᵏ¹']³
e
(x - i) = [(β1)ᵇ¹'*(β2)ᵇ²'*(β3)ᵇ³'*...*(βk2)ᵇᵏ²']³
Usando:
(α1)ᵃ¹'*(α2)ᵃ²'*(α3)ᵃ³'*...*(αk1)ᵃᵏ¹' = u + vi
Onde u + vi é um inteiro de Gauss.

Assim:
(x + i) = (u + vi)³ = [u³ + 3u²vi + 3u(vi)² + (vi)³] = u³ + 3u²vi - 3uv² - v³i = (u³ - 3uv²) + i*(3u²v - v³)
Então:
(x + i) = (u³ - 3uv²) + i*(3u²v - v³)
e
(x - i) = (u³ - 3uv²) - i*(3u²v - v³)
Logo:
3u²v - v³ = 1
3u² - v² = 1/v

Porém, como u é um inteiro e v também é um inteiro, v só pode ser ±1, caso contrário |1/v| < 1, o que não é uma solução possível para 3u² - v² sendo u e v inteiros.

Assim:
Para v = 1:
3u² - 1 = 1
u² = 3/2
O que não é possível, pois u é inteiro.

Para v = -1
3u² - 1 = -1
u = 0
Ok.

Logo:
(x + i) = (u³ - 3uv²) + i*(3u²v - v³) = 0 + i
Ou seja
x = 0

Neste caso
y³ = 0² + 1
y = 1

Portanto, este exercício só admite uma solução:
x = 0
y = 1

Exercício Resolvido - Desafio

Ana tem o dobro da idade que Márcia tinha quando Ana tinha a idade que Márcia tem. Sabendo que a soma das idades delas é 42, qual é a idade de Ana e de Márcia?

Solução:

Este exercício parece ser fácil, mas a sua dificuldade esta em conseguir entendê-lo.

Um método que pode facilitar é equacioná-lo de "trás pra frente".

Seja 'A' a idade de Ana e M a idade de Márcia. Então, temos do exercício, indo de "trás pra frente" que:

A + M = 42

"... quando Ana tinha a idade que Márcia tem". Ou seja, Ana é mais velha que Márcia. Chamarei a diferença de idade delas de 'X'.

A - M = X

Ana tinha a idade de Márcia há 'X' anos atrás, e esta idade era de 'A - X'.

"...idade que Márcia tinha". Nesta época, Márcia tinha 'M - X' anos de idade. Chamarei esta idade de Márcia de 'Ma'. Então 'Ma = M - X'

Porém o exercício fala que Ana, hoje, tem o dobro da idade que Márcia tinha, ou seja:

A = 2*Ma

Agora, basta substituir:

Ma = M - X

Assim:

A = 2*(M - X) = 2M - 2X

Mas 'X = A - M'

Então:

A = 2M - 2*(A - M) = 2M - 2A + 2M

3A = 4M

Como 'A + M = 42', temos que:

A = 42 - M

Substituindo

3*(42 - M) = 4M

126 - 3M = 4M

7M = 126

M = 18

A = 42 - 18

A = 24

Ana tem 24 anos e Márcia tem 18 anos.

PS: Agora, com o exercício resolvido, é fácil de entendê-lo. Veja.

Quando Ana tinha a idade de Márcia (ou seja, quando Ana tinha 18 anos), Márcia, claro, tinha 12 anos. A idade de Ana hoje é 24 anos, o dobro de 12.

Exercício Resolvido - Prova CORSAN 2014: Probabilidade

Das dez torneiras da rede de abastecimento de um determinado bairro, três estão com defeito. Se a equipe de manutenção escolher, aleatoriamente, duas torneiras para trocar, a probabilidade de se encontrar pelo menos uma com defeito é de, aproximadamente:

a) 38% 

b) 40% 

c) 45% 

d) 48% 

e) 53%

Solução:

Para resolver esta questão eu irei usar o conceito de que a probabilidade de algo ocorrer é o número de possibilidades dividido pelo universo.

Neste caso temos 10 torneiras e existem X formas diferentes de agrupá-las duas a duas. Este é o nosso universo.

X = 10!/(2!*8!) = 45

Dessas 45 formas distintas de se agrupar 10 torneiras duas a duas, existe uma quantidade de pares formada apenas pelas torneiras boas. Estas são 7, então o número de pares formados apenas por elas é Y.

Y = 7!/(2!*5!) = 21

Logo, dos 45 pares formados pelas torneiras, certamente 21 deles não são formados por torneiras ruins. Com isso, 45 - 21 = 24 são formados por pelo menos uma ruim.

Assim, a probabilidade será:

P = 24/45 = 53,3%, letra e)

Exercício Resolvido - Trigonometria: Relações trigonométricas

Considerando-se a expressão trigonométrica x = 1 + Cos(30°), um dos possíveis produtos que a representam é igual a:

a) 2 cos² 15º 

b) 4 cos² 15º 

c) 2 sen² 30º 

d) 2 cos² 30º 

e) 4 sen² 15º

Solução:

Das relações trigonométricas temos que:

cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sen(a)*sen(b)

Como 30° = 15° + 15°, podemos escrever:

Cos(30°) = Cos(15° + 15°) = Cos(15°)*Cos(15°) - Sen(15°)*Sen(15°) = Cos²(15°) - Sen²(15°)

Ainda, das relações trigonométricas, temos que:

Cos²(a) + Sen²(a) = 1, logo

Sen²(a) = 1 - Cos²(a)

Ou seja:

Sen²(15°) = 1 - Cos²(15°)

Substituindo:

Cos(30°) = Cos²(15°) - [1 - Cos²(15°)]

Cos(30°) = Cos²(15°) - 1 + Cos²(15°)

Cos(30°) = 2*Cos²(15°) - 1

Somando 1 de ambos os lados:

1 + Cos(30°) = 1 + 2*Cos²(15°) - 1

1 + Cos(30°) = 2*Cos²(15°) 

alternativa a)

Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

Seja E(u,v,x) uma base e F(a,b,c) tal que u = 2a + 2b, v = 2a - b, w = a + b - 5c. Prove que F é base.

Solução:

Primeiro, precisamos saber o que é uma base?

Sem muitos critérios matemáticos, um conjunto de vetores B é chamado de base de um espaço vetorial E se, a partir da combinação linear dos vetores que formam B pudermos formar qualquer vetor do espaço E e se os vetores que formam B forem linearmente independentes.

Além disso, temos que qualquer base de um espaço vetorial tem o número de vetores iguais à dimensão deste espaço.

Por exemplo:

Uma base para o conjunto dos reais (R¹) pode ser o número 1, pois a partir dele podemos formar qualquer número real multiplicando 1 por um coeficiente a1 real. -> 5,4 = 5,4*1

Uma base para o conjunto R² pode ser B = {(1,0) , (0,1)}, pois a partir destes vetores podemos formar qualquer vetor do espaço R² multiplicando pelos coeficientes reais a1 e a2. -> (2,7) = 2*(1,0) + 7*(0,1)

Nestes dois casos temos que R¹ tem dimensão 1, e R² tem dimensão 2.

Neste caso, o primeiro critério é claramente satisfeito por F, já que F tem 3 vetores, são eles:

'a', 'b' e 'c'.

O que resta saber é se 'a', 'b' e 'c' são linearmente independentes.

Aqui, precisamos saber o que é ser Linearmente Independente.

Um conjunto de vetores (v1,v2,v3,...,vn) é linearmente independente se para quaisquer coeficientes reais (a1,a2,a3,...,an), não todos nulo, temos:

a1*v1 + a2*v2 + a3*v3 + ... + an*vn ≠ 0

Agora podemos voltar ao exercício.

Do exercício temos que E(u,v,w) é uma base.

Sabendo que:

u = 2a + 2b

v = 2a - b

w = a + b - 5c

Assim, manipulando temos:

a = u/2 -b

a = (v+b)/2

a = w - b + 5c

Veja também:

O que é um espaço vetorial?
Propriedades de um Espaço Vetorial

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

u - 2b = v + b

b = (u - v)/3

a = u/2 - u/3 + v/3

a = (u + 2v)/6

c = (a + b - w)/5

c = [(u + 2v)/6 + (u - v)/3 - w]/5

c = (u/2 - w)/5

Se F não é um espaço vetorial:

a1*a + a2*b + a3*c = 0, para algum valor de a1, a2, a3 reais desde que não sejam todos nulos. Porém, se a única solução é a de serem todos nulos, então F é um espaço vetorial.

a1*(u + 2v)/6 + a2*(u - v)/3 + a3*(u/2 - w)/5 = 0

u*(a1/6 + a2/3 + a3/10) + v*(a1/3 - a2/3) - w*(a3/5) = 0

Para isso ser verdade, como (u,v,w) são Linearmente Independentes, esta igualdade só é válida se:

a1/6 + a2/3 + a3/10 = 0

a1/3 - a2/3 = 0, desta equação temos que a1 = a2.

a3/5 = 0, desta temos que a3 = 0

Substituindo os resultados na primeira equação temos:

a1/6 + a1/3 = 0

O que só é válido se a1 = 0.

Logo, a equação a1*a + a2*b + a3*c = 0 só é verdade se a1 = a2 = a3 = 0. Logo, F é Linearmente Independente e portanto uma base.

Exercício Resolvido - Potenciação

Um inteiro é chamado formidável se ele pode ser escrito como uma soma de potências distintas de 4 e é dito bem sucedido se ele pode ser escrito como uma soma de duas potências distintas de 6. O número de maneiras de escrevemos 2005 como a soma de um número formidável com um número bem sucedido é: 

a) 0 

b) 1
c) 2
d) 3
e) mais de 3

Solução:

Uma potência de 4 é qualquer número tal que pode ser escrito na forma: 4ᶰ

Assim, vamos verificar as potências de 4 menores que 2005, isso irá facilitar a resolução do exercício:

4° = 1

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

4⁵ = 1024

A próxima potência de 4 (4⁶) é maior que 2005, portanto não serve.

Agora escreveremos as potências de 6:

6° = 1

6¹ = 6

6² = 36

6³ = 216

6⁴ = 1296

A próxima potência de 6 (6⁵) é maior que 2005, portanto também não serve.

Agora resta verificar a combinação desses números que resulta em 2005. Porém como 2005 é ímpar, certamente teremos ou 4° = 1 ou 6° = 1 na soma.

É importante perceber que neste exercício temos a liberdade de pegar quantas potências de 4 queremos (desde que sejam distintas), porém as potências de 6 devem ser apenas duas.

Desta forma, pegaremos os maiores valores que são potências de 6 e todos os outros que são potência de 4, desde que a soma não seja superior a 2005.

1296 + 216 + 256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 1853.

Desta forma, não existe qualquer combinação destes valores que possam resultar em 2005 pois sob estas condições o maior valor que podemos ter que não passa 2005 é 1853.

Portanto, a resposta correta é a)

Exercício Resolvido - MRU e MRUV, Mosca e trem.

Um trem esta numa estação A, inicialmente em repouso e parte com aceleração de 0,3 m/s².
Numa estação B parte do repouso outro trem, com aceleração de 0,1 m/s².
Pousada em seu nariz há uma mosca que neste mesmo instante passa a voar retilineamente em direção ao trem B com velocidade constante de 15 m/s.

Ambos os trens deslocam-se um de encontro ao outro e a distância inicial deles é de 500 m.
A mosca que inicialmente estava no nariz do trem A voa e encosta no B. Após isso, sem alterar sua velocidade, retorna e encosta no trem A, repetindo este procedimento até que os trens se chocam e a mosca morre esmagada.

a) Qual o tempo que levará até que a mosca morra esmagada?
b) Qual o deslocamento de cada um dos trens?
c) Qual a distância percorrida pela mosca?

Solução

a) A equação que descreve a posição dos trens é a equação do MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado), já que ambos possuem aceleração constante.

SA = SoA + VoA*t + aA*t²/2
SB = SoB + VoB*t + aB*t²/2

Considerando que o trem A desloca-se em uma direção positiva (ou seja, com isso o deslocamento de B será negativo, já que os trens se deslocam em direções opostas) e que a sua posição inicial é a origem, temos que SoA = 0 e que SoB = 500 m. Como ambos os trens partem do repouso temos que suas equações da posição de cada trem ficam:

SA = aA*t²/2
SB = 500 + aB*t²/2

Como o trem B se desloca numa direção negativa, sua aceleração é negativa, aB = -0,1 m/s², logo:

SA = 0,3*t²/2
SB = 500 - 0,1*t²/2

Quando os trens se chocam, ambos estão no mesmo ponto, logo SA = SB. E com isso podemos calcular o tempo que leva até eles se chocarem:

SA = SB
0,3*t²/2 = 500 - 0,1*t²/2
Multiplicando tudo por 2
0,3*t² = 1000 - 0,1*t²
Com isso
0,4*t² = 1000
t² = 2500
t = 50 s

b) Como o tempo que os trens levam para se chocarem é de 50 s, basta substituir este tempo nas equações da posição dos trens e ver quanto eles se deslocaram. Para o trem A:

SA = 0,3*t²/2
SA = 0,3*50²/2
SA = 375 m
Logo o deslocamento do trem A é de 375 m.

Para o trem B:

SB = 500 - 0,1*t²/2
SB = 500 - 0,1*50²/2
SB = 500 - 125
SB = 375 m

Este resultado não é o quanto o trem B se DESLOCOU, mas sim a POSIÇÃO do trem B após os 50 s. Como deveria ser, veja que o resultado é o mesmo do trem A, o que é bastante óbvio já que eles se chocam e para isso precisam estar na mesma posição. Para saber o deslocamento do trem B, basta lembrar que ele partiu do ponto SoB = 500 m. Se no fim ele estava no ponto 375 m, então ele se deslocou:

500 - 375 = 125 m
Logo, o deslocamento do trem B é de 125 m.

c) Para o cálculo de quanto a mosca percorreu basta usar as equações de MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) pois a velocidade da mosca não se altera em momento nenhum.

SMOSCA = VMOSCA*t

Como já sabemos o tempo (t = 50 s) e a velocidade dela é de 15 m/s:

SMOSCA = 15*50 = 750 m
Logo, a distância percorrida pela mosca é de 750 m.

Comentários:
A distância percorrida pela mosca é maior que a distância entre os trens, o que parece ser bem estranho. Porém lembre-se que a mosca fica "indo e voltando" de um trem para o outro e por isso acaba percorrendo uma distância maior que os 500 m.

Limite fundamental exponencial (Euler)

Comprovação com uso da análise da existência do limite fundamental de Euler

Neste post será comprovada a existência do limite fundamental exponencial.

Para isto, será utilizado o seguinte teorema e a seguinte proposição:

O limite a ser calculado é dado por:

Assim, definimos

Temos que a função f(x) acima tem seu domínio no conjunto dos reais exceto o zero. Como queremos o limite para x tendendo ao infinito, então o zero não será um problema. Neste caso, podemos definir a sequência xn = n, onde n são números inteiros e portanto a sequência esta contida no domínio da função f(x), podendo ser aplicado o Teorema 1.

Desta forma:

Porém, como n é inteiro, podemos escrever f(n) em binômio de Newton na forma de uma série:

Para seguir com os cálculos é importante saber se f(n) é crescente ou decrescente, pois isso irá nos permitir concluir se existe o limite exponencial.

Sabemos que:

Agora, para verificar se é crescente ou decrescente, irei iniciar o estudo supondo que a função é crescente e assim, saber se isso é verdadeiro ou não. Se ela for crescente, então f(n) < f(n+1), ou seja:

Na etapa (3) acima, é possível verificar que o termos de dentro do somatório do lado esquerdo é negativo e portanto a desigualdade é verdadeira, o que garante que f(n) é crescente como suposto inicialmente.

Agora, um passo importante é saber se f(n) é limitado, ou seja, que existe um K tal que, para qualquer n, f(n) < K. Com isso, da Proposição 1, é possível garantir que f(n) converge.

Verificando se f(n) é limitada superiormente:

O somatório obtido acima é a soma de uma PG, que é facilmente calculado:

Logo, temos que f(n) é limitada superiormente e crescente, o que garante que o limite existe. O valor do limite não é possível ser calculado sem o uso de um software ou mesmo de recursos envolvendo derivada ou série de Taylor, que a meu entender são conteúdos que estão a frente destes aplicados aqui.

Porém, caso deseja-se calcular este limite, pode ser feito com o uso da regra de L'Hopital, por exemplo:

Substituindo a variável 1/x = y e após isso aplicando L'Hopital, temos:

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Determine a equação da reta tangente à elipse de equações paramétricas:

x = 4*Cos(t)

y = 3*Sen(t)

no ponto correspondente ao valor paramétrico t = π/4. Identifique os vértices e os focos da elipse. Represente graficamente, num mesmo plano, a elipse e a reta tangente.

Solução:

Se a reta é tangente à elipse no ponto para t = π/4 então, a reta deve passar pelo ponto da elipse onde t = π/4 e a derivada da reta (inclinação) deve ser a mesma da derivada da elipse neste mesmo ponto.

Neste caso, temos que para t = π/4:

x = 4*Cos(π/4) = 2*√2

y = 3*Sen(π/4) = 1,5*√2

A derivada da elipse é facilmente calculada derivando a equação paramétrica com relação a t

x' = -4*Sen(t)

y' = 3*Cos(t)

Para t = π/4:

x' = -2*√2

y' = 1,5*√2

Assim:

dy/dx = y'/x' = -0,75

e esta é a inclinação da elipse e portanto da reta neste ponto.

Assim, a reta é dada por:

y = -0,75*x + b

Mas esta reta passa pelo ponto (2*√2 , 1,5*√2)

Assim:

1,5*√2 = -0,75*(2*√2) + b

b = 3*√2

A reta será:

y = -0,75*x + 3*√2

Os vértices da elipse podem ser determinados facilmente com a equação dela já que o centro desta elipse é o ponto (0,0). Com isso, os vértices encontram-se sobre os eixos, no caso, para os seguintes valores de t:

t = 0

t = π/2

t = π

t = 3π/2

Nestes valores de t, temos os seguintes pontos:

t = 0

x = 4, y = 0

t = π/2

x = 0, y = 3

t = π

x = -4, y = 0

t = 3π/2

x = 0, y = -3

Os focos podem ser determinados já que conhecemos os vértices. Como os vértices são dados por (±4,0) e (0,±3), temos que:

f² = 4² - 3² = 7

f = (±√7,0)

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Ponto, Reta e Circunferência no plano.

Sejam A(-7,4) e B (5,-12) pontos no plano.

a)Encontre a inclinação da reta que contém A e B

b)Encontre uma equação da reta que passa por A e B.Quais as intersecções com os eixos ?.

c)Encontre o ponto médio do segmento AB.

d)Encontre o comprimento do segmento AB.

e)Encontre uma equação para a mediatriz de AB.

f)Encontre uma equação para a circunferência para o qual AB é um diâmetro.

Solução:

a) A inclinação da reta é dada pelo ângulo formado entre a reta e o eixo das abcissas (eixo x). Assim, temos que pensar na reta como um triângulo retângulo. Veja a figura a seguir:

Na figura acima, temos a reta que passa pelos pontos A e B e o triângulo retângulo que comentei anteriormente, formado pelos pontos A, B e C. Observe que o segmento de reta AC é paralelo ao eixo x e portanto, o ângulo formado pela reta e o eixo x é o mesmo formado pela reta e o segmento AC.

Porém, perceba que a reta é decrescente, ou seja, quanto maior o valor de x, menor o de y na reta. Assim, a inclinação é um ângulo no intervalo 90° < inclinação < 180°.

Bom, do desenho acima podemos perceber que o ângulo CÂB somado ao ângulo de inclinação da reta é 180°.

Assim, das propriedades trigonométricas temos:

tg(a + b) = (tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)*tg(b))

Como, neste caso, a + b = 180° e sabendo que Tg(180°) = 0

(tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)*tg(b)) = 0

tg(a) + tg(b) = 0

tg(a) = -tg(b)

Assim, a tangente do ângulo CÂB é a mesma tangente do ângulo de inclinação da reta, porém com sinal trocado.

Podemos perceber que a tangente do ângulo CÂB é dada por:

tg(a) = BC/CA

Onde:

CA = 5 - (-7) = 12

BC = 4 - (-12) = 16

tg(a) = 16/12 = 4/3

Logo, o ângulo CÂB = ArcTg(4/3) = 53,13°

Assim, como:

CÂB + inclinação = 180°

Inclinação = 180° - 53,13° = 126,87°

b) A equação da reta pode ser obtida de forma mais simples. Temos que toda equação de reta num plano é da forma:

y = a*x + b

Como temos dois pontos que definem essa reta:

A(-7,4) e B(5,-12), então

4 = a*(-7) + b (Ponto A)

-12 = a*(5) + b (Ponto B)

Das equações acima, temos que:

a = -4/3

b = -16/3

Assim, a equação da reta é:

y = (-4/3)*x - 16/3

c) Para obter o ponto médio de um segmento, basta somar os pontos que limitam este segmento e dividir por dois, neste caso:

A = (-7,4)

B = (5,-12)

(A+B)/2 = ( -7 + 5 , -12 + 4) / 2 = (-2/2 , -8/2) = (-1,-4)

M = (-1,-4)

Na figura a seguir é possível verificar o ponto médio em vermelho:

d) Para o cálculo do comprimento AB vamos voltar ao triângulo retângulo que foi utilizado no exercício a). Vimos que podemos formar um triângulo retângulo, formado pelos pontos ABCA. Neste caso, o segmento AB é a hipotenusa do triângulo, com isso, como já calculamos o valor dos segmentos CA e BC no item a), temos:

AB² = CA² + BC²

AB² = 12² + 16²

AB² = 400

AB = 20.

Outro método mais direto de calcular este valor é com base nos pontos dados, veja como:

AB² = [ 5 - (-7) ]² + [ 4 - (-12) ]²

Onde cada um desses valores são as coordenadas dos pontos A e B. Com isso teremos que AB = 20, como calculado anteriormente.

e) Mediatriz é o conjunto de pontos que são equidistantes a dois pontos determinados. Neste caos é o conjunto de pontos equidistantes aos pontos A e B.

Assim, seja um ponto D(x,y) equidistante a A e B, desta forma, a distância de D para A é dada por:

dist(DA)² = [ x - (-7) ] ² + [ y - 4 ]² = x² + 14x + 49 + y² - 8y + 16

dist(DB)² = [ x - 5 ]² + [ y - (-12) ]² = x² - 10x + 25 + y² + 24 + 144

Como as distância devem ser iguais:

x² + 14x + 49 + y² - 8y + 16 = x² - 10x + 25 + y² + 24y + 144

Simplificando temos os termos iguais:

14x + 49 - 8y + 16 = -10x + 25 + 24y + 144

24x + 65 = 32y + 169

32y = 24x - 104

4y = 3x - 13

y = (3/4)x - 13/4
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Veja também:

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

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Podemos concluir que a mediatriz de dois pontos é uma reta, dada a equação obtida acima.

f) Se AB é um diâmetro do círculo, então o ponto médio de AB é o centro da circunferência. Como já temos todos estes dados, calculados anteriormente, sabemos que o comprimento AB = 20, logo o raio da circunferência é de 10. Como o centro dessa circunferência é (-1,-4) a equação é dada por:

[ x - (-1) ]² + [ y - (-4) ]² = 10²

[ x + 1 ]² + [ y + 4 ]² = 10²

Perceba que além do segmento AB, a mediatriz também passa pelo centro desta circunferência e portanto um segmento seu forma um diâmetro desta circunferência.