Exercício Resolvido - Limite

Calcule ou mostre que não existe, sem aplicar L'Hôpital e/ou aproximações polinomiais.

Solução:

Para resolver esses limites, um teorema deve ser enunciado:

Teorema 1: Sejam as funções f,g: D → ℜ

Sejam as constantes a Є D’ e b₁,b₂ Є ℜ tais que lim_x→a f(x) = b₁ lim_x→a g(x) = b₂

Então:

a) lim_x→a (f + g)(x) = b₁ + b₂

b) lim_x→a (f*g)(x) = b₁*b₂

c) Se b₂ ≠ 0  lim_x→a (f/g)(x) = b₁/b₂

Onde D’ são os pontos de acumulação do domínio de f e g.

a)

Fazendo uma substituição de variável u = sen(x)/cos(x) = tg(x) onde para x tendendo a zero, u também tende a zero, adotando o Teorema 1 e conhecendo o limite:

temos que:

Gráfico da função:

b) Para quem não percebeu (ou para quem não sabe ainda), esse limite é a derivada da função seno.

Percebam que no limite, x → a, ou seja, x é um pouco diferente de a, mas muito próximo de a. Assim, podemos dizer que x = a + h, sendo que no limite, h → 0.

Como a é uma constante, cos(a) e sen(a) também é constante e poderá sair de dentro do limite quando estiver multiplicando. 

Conhecendo o lim_x→0 sen(x)/x mencionado no exercício anterior, temos:

Mas:

Onde lim_h→0 sen(h)/h = 1 e lim_h→0 sen(h)/[cos(h)+1] = 0/2 = 0. Logo, 1*0 = 0. Portanto:

Assim, voltando ao exercício:

Gráfico da função para a = 0 em azul, a = π/4 em vermelho e a = π/2 em preto:

c)Para resolver este exercício, devemos fatorar os polinômios que estão dentro da raiz:

1-x³ = (1-x)*(x² + x + 1)

x²-1 = (x-1)*(x+1)

Da divisão, o termo (x-1) pode ser simplificado, ficando:

Gráfico da função em azul e em vermelho uma reta horizontal passando pela raiz cúbica de -3/2.

Exercício resolvido - Raiz de polinômio

Considere o polinômio 5x³ – 3x² – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma √n, onde n é um numero natural, pode se afirmar que: 

A)1≤ n < 5 

B)6 ≤ n < 10 

C)10 ≤ n < 15 

D)15 ≤ n < 20 

E)20 ≤ n < 30

Solução:

Vou resolver esse exercício através de análise utilizando as alternativas. 

Sabe-se que, pelo Teorema do Valor Intermediário, num intervalo [a,b] do domínio de uma função contínua, f(a) < f(b), então existe f(c) tal que f(a) < f(c) < f(b) tal que c Є [a,b]. Chamando 5x³ - 3x² - 60x + 36 = f(x).

Obs.: A lógica desse teorema é a seguinte. Se uma função é contínua, então você consegue desenhar o gráfico dela sem tirar o lápis do papel, assim, se em algum momento ela é negativa e em outro ela é positiva, certamente ela passou pelo zero, e por todos os outros valores que estão entre esses dois.

Assim, para a alternativa A): 

f(√1) = 5*(√1)³ - 3*(√1)² - 60*√1 + 36 = -11

f(√5) = 5*(√5)³ - 3*(√5)² - 60*√5 + 36
f(√5) = 5*5*√5 - 3*5 - 60*√5 + 36
f(√5) = 25*√5 - 15 - 60*√5 + 36
f(√5) = 21 - 35√5 =  -57,26

Ambos os resultados são negativos o que não nos garante a existência de uma raiz no intervalo. Porém, para testarmos todas as possibilidades que as alternativas oferecem, seriam muitos testes o que nos leva a crer que devemos achar algum meio mais rápido. Um ponto importante a se perceber é que se n não é um quadrado perfeito, então os termos de coeficiente 5 e -60 devem se anular, pois como eles multiplicam x com expoente ímpar eles serão os únicos termos multiplicando uma raiz. Assim, se eles não se anularem, o resultado não será zero como desejado. Desta forma, caso n não seja um quadrado perfeito:

5*(√n)³ - 60*(√n) = 0 

5*n*(√n) – 60*(√n) = 0 

5*n*(√n) = 60*(√n) 

Dividindo tudo por 5*(√n) 

n = 12

Verificando: 

f(√12) = 5*(√12)³-3*(√12)²-60*(√12)+36 = 60*(√12) – 3*12 – 60*(√12) + 36 = 0. 

Resposta: Letra C), com n = 12.

Gráfico da função:

Dando um zoom:

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2013/03/exercicio-resolvido-teorema-do-valor.html

Exercício Resolvido - Teorema do Valor Intermediário

Usando o Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.), mostre que a equação abaixo possui alguma raiz negativa: 

7x²°¹³ − 2x +1= 0 

Solução:

Obs.: O teorema do valor intermediário diz que se uma função é contínua num intervalo [a,b] e se existe um valor k tal que:

f(a) < k < f(b)

então, existe um valor c tal que f(c) = k.

Este teorema é bastante intuitivo, basta perceber que se uma função é contínua e se ela passa por dois valores, então ela passou por todos os que estão entre eles.

Exemplo:

f(x) = x² + x + 3

f(0) = 3

f(2) = 9

Assim, para qualquer valor k entre 3 e 9 existe um c Є [0,2] tal que f(c) = k, veja:

Para k = 5, c = 1

Para k = 6, c = 1,30278 

Para k = 7,5, c = 1,679

...

Voltando ao exercício:

Temos então:

f(x) = 7x²°¹³ − 2x +1

Assim:

f(0) = 1

f(-1) = 7*(-1) + 2 + 1 = -7 + 3
f(-1) = -4

Assim, basta adotar k = 0 (que esta entre [-4,1]) e, com base no teorema do valor intermediário, garantimos que existe um c Є [-1,0] tal que:

f(c) = k = 0.

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2013/03/exercicio-resolvido-raiz-de-polinomio.html

Exercício Resolvido - Assíntotas

Determine todas as assíntotas das funções abaixo:

a) (2x - 1) / (x - 3)

b) (x² + 3) / (x + 1)

Solução:

Obs.: Assíntota é uma reta na qual uma equação tende a ela no infinito porém nunca chega a ela. Desta forma, dada uma função f(x), se y = ax + b é sua assíntota, então:

a)

Assim, para tirar o x do denominador, temos:

simplificando o x e eliminando os termos constantes divididos por x, pois eles tendem a zero, temos:

Assim, percebemos que a deve ser zero, pois se não for, o limite tenderia a infinito. Ainda, se a = 0 teremos que para que o limite seja nulo:

2 - b = 0, logo, b = 2

Assim, a reta assíntota neste caso é:

y = 2.

Abaixo o gráfico da função e da assíntota y = 2, para x tendendo a infinito positivo e negativo:

b) Analogamente temos:

Assim, para que o limite seja nulo, devemos ter:

1-a = 0, logo a = 1

a + b = 0, logo b = -1

Assim, a reta assíntota neste caso é:

y = x - 1

Abaixo o gráfico da função e sua assíntota:

Perceba também que as retas x = 3 (no exercício a) e x = -1 (no exercício b) também são assíntotas já que esse valor de x é uma descontinuidade da função e a medida que x se aproxima destes valores, a função tende a infinito (infinito positivo ou infinito negativo, dependendo da direção de aproximação).

Exercício resolvido - Continuidade de função

Considere a função real definida por:

Para qual valor de k a função é contínua?

Solução:

Inicialmente, devemos definir o domínio dessa função e como sabemos que não podemos ter valores negativos dentro das raízes temos que:

1 + x > 0, logo, x > -1

1 - x > 0, logo, x < 1

-1 < x < 1

Ainda, não podemos ter denominador nulo, logo:

1 + x ≠ 1 - x

2x ≠ 0

x ≠ 0. 

O que é respeitado quando dizemos que para x = 0, f(x) = k.

Agora, para saber a continuidade devemos fazer o limite da função f(x) para x tendendo a zero.

Para isso:

Simplificando o x:

Logo, para que f(x) seja contínua, k = 1.

Exercício resolvido - Quantidade de movimento

Dois objetos, A e B, movendo-se sem atrito sobre uma reta horizontal, estão em interação. A quantidade de movimento de A é QDMA = Po - bt, onde Po e b são constantes e t é o tempo. Determine a quantidade de movimento de B como função do tempo quando a) B está inicialmente em repouso e b) a quantidade de movimento inicial de B é igual a -Po. 

Solução:

O fato de os blocos estarem interagindo significa, quando falamos de quantidade de movimento, que a quantidade de movimento de ambos permanece constante, já que não há força externa (atrito, por exemplo) agindo nos blocos.

Com isso:

a)

Para t = 0, a quantidade de movimento de A é Po e a quantidade de movimento de B é zero, pois B esta em repouso. Assim, a quantidade de movimento total será:

QDMT = QDMA + QDMB =  Po + 0 = Po

Para t = t, teremos que a quantidade de movimento total não muda, pois como já foi dito, não há força externa atuando no sistema. Assim:

QDMA = Po - bt

QDMB = QDMB

Sabemos que:

QDMA + QDMB = Po

(Po - bt) + (QDMB) = Po

QDMB = bt

b)

De forma análoga:

Para t = 0:

QDMA = Po

QDMB = -Po

A quantidade de movimento total será:

QDMT = Po - Po = 0

Para t = t

QDMA = Po - bt

QDMB = QDMB

Sabemos que:

QDMA + QDMB = 0

(Po - bt) + (QDMB) = 0

QDMB = bt - Po

Exercício Resolvido - Resistência equivalente

Cálculo da resistência equivalente

Calcule a resistência equivalente entre os pontos A e B:

Solução:

Como no circuito existem alguns trechos em curto circuito, facilita a visualização se transformarmos esses curtos em pontos.

Temos curtos circuito entre os pontos:

CH, DG e EF.

O resistor elétrico DE e o resistor FG estão em série, formando uma resistência equivalente de 2 Ω. Porém esta resistência equivalente esta em paralelo com o curto DG, logo é como se ela não existisse. Assim, o novo circuito ficaria:

Transformando os curtos circuitos CH e DG em pontos teremos:

Agora, é fácil perceber que há uma associação de resistores em paralelo para os resistores de 8 Ω (AC e AH), o mesmo acontece com os resistores de 12 Ω (HD e HG).

Assim, no trecho AH temos como resistência equivalente 4 Ω, e no trecho HG a resistência equivalente é de 6 Ω.

Veja também:
5 Exercícios Resolvidos de Resistência Equivalente Para Você Fixar o AssuntoExercício Resolvido - Resistência Equivalente de circuito misto
Exercício Resolvido - Resistência Equivalente: VESTIBULAR UERJ 2011
Quando a ddp numa ponte de Wheatstone é zero ?

Assim, há a associação de resistores em série para HG e GB, tendo como resistência equivalente 12 Ω. Mas esta resistência equivalente de 12 Ω esta associada em paralelo com o resistor HB.

Assim, a resistência equivalente entre os pontos HB é de 6 Ω.

Logo, a resistência total entre os pontos AB é de 4 + 6 = 10 Ω

Espero que este exercício contribua para os leitores. Qualquer dúvida deixe nos comentários.

Área da elipse usando apenas conhecimentos de cálculo I

A análise inicial é muito parecida com a feita no exercício anterior, assim como o raciocínio para a obtenção do resultado, o que irá mudar neste caso é o "pedaço de área" que vamos pegar. Ele, assim como feito antes, deve ser infinitamente pequeno.

A área infinitesimal adotada será conforme a figura a seguir:

Como pode ser observado, a área vermelha vale:

Da equação da elipse, dada por:

temos que:

Como x1 é o extremo do intervalo (dependente de y como pode ser observado) temos que:

Agora, para obter a área total da elipse, basta integrar dos dois lados da igualdade. Os limites de integração serão -b < y < b (no caso da figura acima -1 < y < 1, pois b² = 1). Fazendo isso temos:

Esta integral é a mesma calculada no exercício anterior (http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2013/01/deducao-da-area-de-uma-elipse.html), mudando apenas algumas letras. Desta forma:

Dedução da área de uma elipse

Supondo uma elipse, conforme figura a seguir:

Como pode ser observado, pelo pontos onde a elipse corta os eixos, esta elipse tem equação:

Porém no caso deste exercício, deseja-se que a elipse seja genérica, assim, adotaremos como sendo a equação:

Assim, tomando um "pedaço da área" muito pequeno, chamado de dA, conforme mostrado na figura a seguir.

podemos observar que a área dA vale dx*dy. Assim, e somarmos todas as pequenas áreas dA que existem dentro da elipse, teremos a área total dela, ou seja, devemos, neste caso, integrar para obter a área que desejamos.

Neste ponto, o que precisamos definir são os limites de integração.

Assim, pode-se perceber que:

Da equação tiramos os limites de y:

Assim, integrando dy temos:

Fazendo uma substituição de variável, onde x = a*Sen(u), temos, dx = a*Cos(u)*du e para definir os novos limites da integração, procedemos da seguinte forma:

Para x = a, u = π/2

Para x = -a, u = -π/2 

Logo:

Mas como 1 - Sen²(u) = Cos²(u).

A integração de Cos² pode ser feita sabendo-se que Cos² = 1 - Sen², assim:

Porém, com este método não é possível obter a solução, já que não conhecemos o valor de integral de Sen². Para isso, devemos utilizar o método da integração por partes de Cos² da seguinte forma:

f(u) = Cos(u)

g ' (u) = Cos(u)du

f ' (u) = -Sen(u)du

g(u) = Sen(u)

Porém, como Cos(π/2) = Cos(-π/2) = 0, constatamos que:

Logo, do que foi obtido anteriormente, quando integramos substituindo Cos² por 1 - Sen², temos que:

Obtendo, finalmente:

Exercício Resolvido - Fatoração

Fatore a expressão abaixo:

a⁴ - 18a² + 81

Solução:

Para facilitar, vou adotar as seguintes substituições:

a⁴ = c²

Assim:

c² - 18c + 81 = c² - 2*(9c) + 9² = (c – 9)² = (a² - 9)²

Mas a² - 9 é uma diferença de dois quadrados:

a² - 9 = (a – 3)(a + 3)

Tendo, portanto:

(a² - 9)² = [(a – 3)(a + 3)]²

Exercícios Resolvidos - Fatoração

Fatore as expressões abaixo:
a) a⁴ - 1
b) a⁶ - 1

Solução:
a)
Aplicando fatoração de diferença de quadrados:
a⁴ - 1 = [(a²)² - 1²]
[(a²)² - 1²] = (a² - 1)(a² + 1)
Perceba que a² - 1 é uma diferença de quadrados também.
(a² - 1)(a² + 1) = (a - 1)(a + 1)(a² + 1)

b)
Aplicando diferença de quadrados:
a⁶ - 1 = [(a³)² - 1²]
[(a³)² - 1²] = (a³ - 1)(a³ + 1)
Agora temos a multiplicação de dois polinômios do 3º grau. Sabe-se que, todo polinômio de grau ímpar possui, pelo menos, uma raiz real, ou seja, pode ser fatorado. Para isso devemos achar as raízes dos polinômios:

Raízes de a³ - 1:
a³ - 1 = 0
a³ = 1
a = 1, a = (-1/2) + (√3/2) i (complexa, não interessa) e a = (-1/2) - (√3/2) i (complexa, não interessa)
Logo:
a³ - 1 = (a-1)(a² + A*a + B)
a³ - 1 = a³ + A*a² + B*a - a² - A*a - B
a³ - 1 = a³ + a²*(A - 1) + a*(B - A) - B

Assim:
A - 1 = 0
A = 1
B - A = 0
B = A = 1

Desta forma:
a³ - 1 = (a-1)(a² + a + 1)

Raízes de a³ + 1:
a³ + 1 = 0
a³ = -1
a = -1, a = (1/2) + (√3/2) i e a = (1/2) - (√3/2) i

Assim:
a³ + 1 = (a+1)(a² + A*a + B)
a³ + 1 = a³ + a²*(A + 1) + a*(A + B) + B
A + 1 = 0
A = -1
A + B = 0
B = -A = 1
a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)

Por fim:
a⁶ - 1 = (a³ - 1)(a³ + 1) = (a-1)(a² + a + 1)(a+1)(a² - a + 1)