Exercício Resolvido - Movimento circular uniforme: Vestibular UERJ 2011

Exercício de movimento circular uniforme do vestibular UERJ 2011

Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60º. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à
metade do diâmetro de sua roda dianteira.
O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso.

Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotação.
A razão N1/N2 é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

Solução:

Como as duas rodas percorrem trajetos circulares, conforme mostrado na figura em tracejado, então elas desenvolvem um movimento circular uniforme.

É muito importante lembrar que no movimento circular uniforme a velocidade é SEMPRE tangente à curva. Veja na figura abaixo:

A partir deste ponto o problema passa a ser de geometria plana.

Veja no desenho, em azul os vetores velocidade de cada uma das rodas (perceba que eles são tangentes às circunferências) e em vermelho a linha que liga o ponto que as rodas tocam o chão (origem do vetor velocidade) ao centro das circunferências.

Esta linhas SEMPRE formam 90º entre si, ou seja, TODA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA FORMA 90º COM A RETA QUE LIGA O PONTO DE TANGÊNCIA AO CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA:

Assim temos:

Seja r o raio da circunferência percorrida pela roda traseira, e R pela roda dianteira. Além disso, alguns ângulos das figura podem ser determinados:

Portanto, a relação r/R = Cos(60º) = 1/2 → 2r = R

Assim, quando a roda dianteira percorre a circunferência grande uma vez a distância percorrida por ela é:

D = 2 π R = 2 π (2 r) = 4 π r

Enquanto isso, a roda traseira percorre a circunferência pequena, o que dá uma distância:

d = 2 π r

O número de voltas dado pelas rodas vai depender do raio de cada uma. Sendo RD o raio da roda dianteira e RT da traseira, sabe-se do exercício que RD = 2 RT. O número de voltas dado pela roda dianteira será de:

N1 = (2 π RD) / D = (2 π RD) / (4 π r) = (4 π RT) / (4 π r) = RT / r

Para a roda traseira:

N2 = (2 π RT) / d = (2 π RT) / (2 π r) = RT / r

Logo, N1/N2 = 1, Letra (A)

Exercício Resolvido - Caminhos: Análise combinatória: Vestibular UERJ 2011

Cálculo do número de caminhos mínimos entre dois pontos

Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.

Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo
X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.

Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X
equivale a:
(A) 20
(B) 15
(C) 12
(D) 10

Solução:

Para saber quantos caminhos de menor comprimento são possíveis, devemos percorrer, inicialmente, um dos menores caminhos. Seja ele o caminho partindo de A, andando 4 linhas na horizontal e 2 na diagonal até chegar em B:

Neste caso, podemos dizer que a formiga percorreu o caminho HHHHDD, já que foi quatro vezes para a esquerda na horizontal, e duas vezes para cima na direção diagonal.
Assim, para saber quantos caminho de comprimento igual a esse basta calcular o número de formas de combinar as quatro letras H e as duas D para formar "palavras" diferentes, ou seja, devemos calcular o número de anagramas possíveis de serem formados com HHHHDD.
Supondo que todas as seis letras sejam diferentes, podemos dizer que é possível "embaralhá-las" de K formas distintas, onde:

K = 6*5*4*3*2*1 = 6! = 720

Porém, temos quatro letras H e duas D. Com isso num mesmo anagrama ao trocarmos dois H's de lugar, o anagrama segue o mesmo. Por exemplo, seja a palavra HDHDHH. Ao trocar o último H com o primeiro H, a palavra continua sendo exatamente a mesma e como são quatro letras H's que temos, existem 4*3*2*1 = 4! combinações de H's possíveis para cada palavra. O mesmo com a letra D, que possui duas iguais, neste caso teremos 2*1 = 2! combinações. Assim, o número de caminhos diferentes será:

Neste caso são 15 caminhos de comprimento mínimo possíveis. Resposta (B)

Exercício Resolvido - Probabilidade: VESTIBULAR UERJ 2011

VESTIBULAR UERJ 2011 - QUESTÃO 34 SOBRE PROBABILIDADE

Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa
com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor.
Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o mesmo sabor equivale a:
(A) 9,1%
(B) 18,2%
(C) 27,3%
(D) 36,4%

Solução:
Este exercício deve ser feito em duas "etapas". A primeira onde temos 12 garrafas de suco na caixa e uma delas é retirada. A segunda etapa ocorre quando vamos retirar a segunda garrafa de suco, pois agora já não são mais 12 garrafas que temos na caixa, e sim 11. Além disso, se desejamos retirar duas garrafas de suco do mesmo sabor, ao retirar o segundo suco terão apenas 3 garrafas do sabor que desejamos, e não 4 como antes. Entendendo isso, vamos ao exercício:

No primeiro momento temos 12 garrafas dentro da caixa e retiramos uma delas. Perceba que o exercício não especifica qual suco que ele quer que sejam tirados, mas apenas que devem ser dois do mesmo sabor, neste caso, podem ser dois sucos de uva, pêssego ou laranja. Assim, ao retirar o primeiro suco, podemos retirar de qualquer sabor, e isso claro, tem 100% de chance de acontecer já que a probabilidade de retirar qualquer suco de dentro da caixa é 1.

No segundo momento, temos apenas 11 sucos na caixa e, agora sim, desejamos tirar um suco do mesmo sabor do primeiro. Neste caso, temos apenas 3 garrafas na caixa que possui 11 sucos. Aqui, a probabilidade será de:

Como a primeira probabilidade é 100%, então ela não interfere no resultado final. Logo,  resposta é letra (C).

Exercício Resolvido - Resistência Equivalente: VESTIBULAR UERJ 2011

VESTIBULAR UERJ 2011 - QUESTÃO 26 SOBRE RESISTÊNCIA EQUIVALENTE EM PARALELO

Observe a representação do trecho de um circuito elétrico entre os pontos X e Y, contendo três resistores cujas resistências medem, em ohms, a, b e c.

Admita que a sequência (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão 1/2 e que a resistência
equivalente entre X e Y mede 2,0 Ω.
O valor, em ohms, de (a + b + c) é igual a:

(A) 21,0
(B) 22,5
(C) 24,0
(D) 24,5


Solução:
Da figura podemos perceber que as três resistências estão em paralelo. Desta forma, pela fórmula para obtenção da resistência equivalente (saiba mais) quando temos resistências em paralelo temos:



Assim, podemos fazer a soma das frações do lado direito da igualdade para poder obter o valor da resistência equivalente:

Mas o exercício nos diz que (a, b, c) formam uma Progressão Geométrica (Veja Tudo sobre Progressão Geométrica), então:

Substituindo estes resultados na equação temos:



Veja também:
Exercício Resolvido - Resistência equivalente

Mas o exercício nos informa que:



Substituindo:



Temos, portanto que a = 14Ω

Logo, pelas relações que obtemos acima onde b = aq e c = aq², para q = 1/2 temos que b = 7Ω e c = 3,5Ω

Logo:

a + b + c = 24,5Ω

Resposta (D)

Exercício Resolvido - Queda livre: VESTIBULAR UERJ 2011

Vestibular UERJ 2011 questão 22 sobre queda livre

Um trem em alta velocidade desloca-se ao longo de um trecho retilíneo a uma velocidade constante de 108 km/h. Um passageiro em repouso arremessa horizontalmente ao piso do vagão, de uma altura de 1 m, na mesma direção e sentido do deslocamento do trem, uma bola de borracha que atinge esse piso a uma distância de 5 m do ponto de arremesso.

O intervalo de tempo, em segundos, que a bola leva para atingir o piso é cerca de:

(A) 0,05

(B) 0,20

(C) 0,45

(D) 1,00

Solução:
Inicialmente é preciso fazer a conversão das unidades para haver consistência:

Como pode ser visto na figura ilustrativa abaixo a bola irá realizar um movimento de um lançamento oblíquo. Isto ocorre pois a velocidade horizontal da bola é a velocidade que o passageiro vai lançar ela. Porém, o cálculo do tempo que a bola vai levar para chegar ao chão em nada tem a ver com a velocidade de lançamento e tampouco com a velocidade do trem. Uma característica do lançamento oblíquo é a independência dos movimentos verticais e horizontais, assim, o tempo que a bola vai levar para chegar ao solo irá depende apenas do seu movimento de queda livre, ou seja, da ação da gravidade sobre a bola.

Trajeto da bola (vermelha) dentro do trem (azul). A bola percorre verticalmente um movimento de queda livre (MRUV) e, horizontalmente, um Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).

Como o valor da gravidade não é fornecido, chamarei de g e se for necessário usar algum valor numérico farei isso no fim do exercício.

Assim, na vertical a bolinha percorre um movimento de queda livre com velocidade inicial nula, pois e bola só tem velocidade inicial na horizontal:

Veja também:
Exercício Resolvido - Queda Livre e tempo

Exercício Resolvido - Queda Livre: ITA 2003

Como ele pede uma resposta aproximada (no enunciado está "O intervalo de tempo (...) é cerca de:"), podemos adotar que g ≈ 10 m/s², assim:



A resposta correta é (C).

Exercício resolvido - IME CG 2009/2010 - Estática

Duas barras AC e BD estão apoiadas e ligadas por pinos sem atrito, conforme a figura. As barras, de 4 m de comprimento, são feitas de material homogêneo e possuem massa linear igual a  5 kg/m. Sabendo que as barras formam um sistema em equilíbrio no momento em que o ponto  D é tracionado em  300 N e que, no meio da barra  AC, é colocado um corpo com 20 litros de volume, determine as reações horizontal e vertical, em Newtons, nos pontos A e B.

  Dados:

aceleração gravitacional = 10 m/s²

√3 = 1,7

massa específica do corpo = 2000 kg/m³

Solução:

Como o sistema esta em equilíbrio temos que:

∑F = 0 (Somatório da forças = 0)

∑M = 0 (Somatório dos momentos = 0)

Para facilitar, vou decompor a força 300 N na direção horizontal e vertical. Além disso, como o corpo na barra AC tem 20 litros de volume (ou 0,02 m³) e que sua massa específica é de 2000 kg/m³, temos que sua massa é:

0,02*2000 = 40 kg

Como a aceleração da gravidade é 10 m/s²

Peso do corpo = 400 N.

Ambas as barras tem massa de 5 kg/m* 4 m = 20 kg, pesando 200 N cada uma.

Assim temos:

Observe que no ponto C existem 4 forças, 2 delas são a reação na barra AC, e duas na barra BD

Neste tipo de exercício, é interessante 'separarmos' as barras, já que cada uma delas deve estar em equilíbrio  pois não estão se movendo e nem girando.

Estudo da barra AC:

Equilíbrio das forças verticais:

RCVAC + 200 + 400 + RAV = 0

RCVAC = - 600 - RAV

Equilíbrio das forças horizontais:

RAH - RCHAC = 0

RAH = RCHAC

Momento em relação a qualquer ponto é nulo.

Vou fazer em relação ao ponto C, já que não estou interessado em calcular as forças em C, e sim em A e B:

RAV*4 + 400*2 + 200*2 = 0

RAV*4 = -1200

RAV = -300 N

Veja também:
Exercício Resolvido - Força e momento resultante. Equilíbrio estático

Disso, temos que:

RCVAC = -600 - RAV = - 600 + 300 = - 300 N

Obs.: É importante perceber que as forças que atuam no ponto C quando estudamos apenas a barra AC tem um sentido, porém ao estudarmos a barra BD, estas forças terão sentido contrário, já que serão a reação da barra AC na barra BD. Assim como os vetores dessas forças estão em sentidos contrários, RCVAC = RCVBD e RCHAC = RCHBD.

Estudo da barra BD:

Equilíbrio das forças verticais:

RBV - 200 +  RCVBD + 300*sen(30°) = 0

RBV - 200 +  RCVBD + 150 = 0

RBV +  RCVBD = 50

Equilíbrio das forças horizontais:

RBH + RCHBD + 300*cos(30°) = 0

RBH + RCHBD + 255 = 0

RBH + RCHBD = -255

Momento resultante em relação a qualquer ponto é nulo:

Novamente irei calcular em relação ao ponto C:

300*cos(30°)*1 - RBH*3 = 0

3RBH = 255

RBH = 85 N

Como RBH + RCHBD = -255

RCHBD = - 340 N

Falta resolver:

RAH = RCHAC

RBV +  RCVBD = 50

Sabemos que:

RCVBD = RCVAC = - 300 = - 300 N, logo, RCVBD = - 300 N

RCHBD = RCHAC = -340 N, logo, RCHAC = - 340 N

Com isso

RAH = - 340 N

RBV - 300 = 50

RBV = 350 N

Assim:

Forças em A:

RAV = -300 N

RAH = -340 N

Forças em B:

RBV = 350 N

RBH = 85 N

PS: Agora sim, certamente esta correto este exercício. Depois de algumas correções e momentos de reflexão (rs), esta é a resposta. Podem confiar..