Cálculo I: Números Reais
Neste post falaremos dos Números Reais e suas propriedades na introdução ao Cálculo.
O conjunto dos números reais (ℝ) é formado pela união dos conjuntos Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ) e Irracionais (𝕀).
No conjunto dos números Naturais (ℕ) existe uma propriedade importante, denominada Princípio da Indução Finita (para mais detalhes, clique aqui). Essa propriedade é muito utilizada no estudo de sequências.
Com as propriedades existentes no conjunto dos ℝ, assim como no conjunto dos ℕ, ℤ e ℚ, é possível que se defina as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO. Neste ponto definimos o que é um Corpo.
Com as propriedades existentes no conjunto dos ℝ, assim como no conjunto dos ℕ, ℤ e ℚ, é possível que se defina as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO. Neste ponto definimos o que é um Corpo.
Definição 1: Um corpo é um conjunto M diferente de vazio que possui duas operações: ADIÇÃO ⊕ e MULTIPLICAÇÃO ⊗ de modo que satisfaça as seguintes propriedades:
a) Associativa: Dados a,b,c ∈ M são verdadeiras as seguintes relações:
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
b) Comutativa: Dados a,b ∈ M, são verdadeiras as seguintes relações:
a ⊕ b = b ⊕ a
a ⊗ b = b ⊗ a
c) Elemento neutro da adição: Deve existir 0 ∈ M tal que a ⊕ 0 = a, para todo a ∈ M.
d) Elemento neutro da multiplicação: Deve existir 1 ∈ M, tal que a ⊗ 1 = a, para todo a ∈ M.
e) Elemento simétrico ou oposto da adição: Deve existir -a ∈ M para cada elemento a ∈ M tal que:
a ⊕ (-a) = 0 (elemento neutro da adição).
a ⊕ (-a) = 0 (elemento neutro da adição).
a ⊗ (a⁻¹) = 1 (elemento neutro da multiplicação)
g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição: Para quaisquer elementos a, b, c ∈ M, deve ser válida a seguinte igualdade:
a ⊗ (b ⊕ c) = a ⊗ b ⊕ a ⊗c
De posse dessa definição temos que, dos conjuntos acima mencionados, apenas os conjuntos ℝ e ℚ satisfazem a definição acima para as operações de adição e multiplicação usuais e, portanto, podem ser chamados de Corpo.
Exercícios resolvidos:
Exercício 1: Mostre que o conjunto dos números Racionais (ℚ) forma um corpo segundo as operações de adição e multiplicação usuais:
O conjunto ℚ é formado por números que podem ser escritos por:
Onde tanto a quanto b são números Inteiros (ℤ), onde b ≠ 0.
Sejam os três números Racionais a seguir:
Propriedade a) Associativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d,e,f ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:
É válida pois o 0 pertence ao conjunto dos números Racionais.
Propriedade d) Elemento neutro da multiplicação:
É válida pois o 1 pertence ao conjunto dos números Racionais.
Propriedade e) Elemento simétrico ou oposto da adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu simétrico também pertence.
Propriedade f) Elemento inverso da multiplicação:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu inverso também pertence.
Propriedade g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, a igualdade abaixo é verdadeira:
Por satisfazer todas as propriedades, temos que os números Racionais formam um corpo.
Exercício 2: Por que o conjunto dos números Naturais (ℕ) não é um corpo?
Por não possuir números negativos contata-se que a propriedade e) não pode ser cumprida. Além dela, a Propriedade f) também não.
Exercício 3: Por que o conjunto dos números Irracionais (𝕀) não é um corpo?
Por não possuir os números 0 e 1, não satisfaz as Propriedades c) e d).
Surge, destas propriedades, a seguinte Proposição:
Proposição 1: Para todo conjunto que seja um corpo, é verdadeiro:
1 - O elemento neutro é único;
2 - A unidade é única;
3 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento simétrico;
4 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento inverso multiplicativo;
5 - Se a,b,c pertencem ao conjunto de tal forma que a+b = a+c então, b = c;
6 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro:
-(-a) = a
-(a+b) = (-a) + (-b)
(-a)*b = a*(-b)
(-a)*(-b) = a*b
7 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro dizer que:
a*b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0
8 - Dados a,b que pertençam ao conjunto e sejam diferentes de zero, é verdadeiro dizer que:
(a⁻¹)⁻¹ = a
(a*b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹
Definição 2: Um corpo ordenado é um corpo K que possua um subconjunto P não vazio denominada conjunto dos números positivos de K, tal que:
a) Para todo a,b ∈ P tem-se que a+b e a*b ∈ P.
b) Para cada a ∈ K uma e somente uma das afirmativas abaixo é verdadeira:
ou a = 0, ou a ∈ P ou -a ∈ P
Definição 3: Seja C um corpo ordenado e seja S um subconjunto não vazio de C, define-se que:
a) S é limitado superiormente em C caso exista algum termo a ∈ C que seja maior ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que a é uma cota superior de S em C. Se a for a menor cota superior de S em C, chamamos a de supremo de S em C.
b) S é limitado inferiormente em C caso exista algum termo b ∈ C que seja menor ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que b é uma cota inferior de S em C. Se b for a menor cota inferior de S em C, chamamos b de ínfimo de S em C.
c) S é limitado em C quando possui cota inferior e superior em C.
Exercício resolvido:
Exercício 4: Mostre que o conjunto A = [3, 10) é limitado em ℝ.
De fato, basta tomarmos 2 ∈ ℝ e 15 ∈ ℝ, onde 2 é uma cota inferior e 15 é uma cota superior. No caso temos 3 como ínfimo de A em ℝ e 10 como supremo de A em ℝ.
Em outras palavras, o supremo de um conjunto é um valor tal que seja maior ou igual a todos os valores do conjunto porém não existe valor "intermediário" entre ele e o maior valor do conjunto. Esta afirmação só é verdadeira quando o supremo é o próprio maior valor do conjunto.
O raciocínio análogo ocorre para o ínfimo, devendo ser ele o menor valor do conjunto.
Definição 4: Um corpo ordenado completo é um conjunto tal que todo subconjunto dele, limitado inferiormente, admite ínfimo nele.
Exercício resolvido:
Exercício 5: Mostre que ℚ não é um corpo ordenado completo.
Dado o conjunto A = {x ∈ ℚ / x² > 2} temos que o ínfimo do conjunto √2 ∉ Q. Desta forma, este subconjunto de ℚ não possui ínfimo em ℚ, mas apenas em ℝ. (Veja também: Mostre que √2 não é Racional).
O conjunto dos ℝ é um corpo ordenado completo.
PS: O conjunto dos números Naturais pode ser definido com o 0 (zero) ou sem ele. Esta definição fica a critério do professor.
