5 Exercícios Resolvidos clássicos de MRUV e MRU para você fixar o assunto.

Veja 5 exercícios resolvidos de MRUV e MRU

1 - O gráfico abaixo mostra a velocidade de dois ciclistas (C1 e C2) em função do tempo. Ambos partem
da posição inicial zero pata t = 0 e percorrem trajetórias retilíneas no mesmo sentido. Com base nos dados da figura, determine:

a) o valor da aceleração do ciclista C1 no instante t = 5 s;

b) a distância entre os ciclistas no instante em que eles têm a mesma velocidade.

Gráfico da velocidade do ciclista 1 (em azul) e do ciclista 2 (em vermelho). É possível verificar que ambos desenvolvem um movimento MRUV inicialmente, e depois MRU.

2 - Numa prova de 100 m rasos, um atleta consegue percorrê-los em 10 s. O gráfico a seguir mostra,

aproximadamente, como varia a velocidade deste atleta durante a prova. Com isso determine:

a) qual a velocidade média durante os 10 s.

b) estime, a partir do gráfico, um valor razoável para vf.

Gráfico da velocidade do atleta nos 10 s de duração da prova

3 - A maior aceleração (ou desaceleração) que é desejável que os passageiros de um trem urbano sintam é de 2 m/s². Se a distância entre duas estações consecutivas é de 800 m e supondo que o trem pare em todas as estações, calcule:

a) a máxima velocidade que o trem pode atingir.

b) o tempo mínimo que o trem deve levar de uma estação até a outra.

4 - Um objeto parte do repouso de um ponto A e percorre, em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado um trecho até outro ponto B. No mesmo instante em que o primeiro objeto parte de A para B, outro parte de B em direção à A em Movimento Retilíneo Uniforme (velocidade constante). A distância entre A e B é de 50 m. Depois de 10 s da partida, os objetos se cruzam exatamente no meio do percurso AB. Com isso, calcule:

a) a velocidade do móvel que partiu de B.

b) a velocidade do objeto que partiu de A chegará em B.

5 - Um ciclista se desloca de acordo com a equação S = 40 + 10t + t² com dados no SI. Com isso, determine:

a) a posição inicial do ciclista, a velocidade inicial do ciclista e a aceleração do ciclista

b) sua posição S e velocidade V quando o tempo for 10 s

Soluções:

Exercício 1 - 

a) A equação da velocidade é dada por:

Como para t = 0, V0C1 = 0, temos:

Porém, no gráfico a reta passa pelo ponto VC1 = 4 m/s, t = 10 s. Então:

Como a velocidade de C1 cresce linearmente no trecho de 0 s até 10 s, então sua aceleração é constante. Assim, neste intervalo de tempo:

b) Vendo o gráfico percebemos que há uma intersecção dos gráficos. 

Ponto onde ambos os ciclistas possuem a mesma velocidade marcado com um círculo em preto

Como este é um gráfico da velocidade pelo tempo, a intersecção ocorre quando ambos têm a mesma velocidade e, é possível perceber que ela ocorre quando o ciclista C2 já está com velocidade contante de 2,4 m/s. Agora, é preciso saber qual o tempo, porém isso fica simples da saber pois já temos a equação da velocidade do ciclista C1 até 10 s.

Então:

Agora, é preciso calcular a posição de cada um dos ciclistas para saber a diferença entre elas, assim temos a distância entre eles:

A equação da posição em MRUV é:

No caso do exercício temos que até 6 s, o ciclista C1 esteve unicamente em movimento MRUV, pois o gráfico de sua velocidade manteve-se como uma reta crescente sem mudança brusca de inclinação. Porém, não pode-se dizer o mesmo do ciclista C2, que no tempo t = 5 s sua velocidade passa a ser constante. Assim, ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até o tempo de 5 s e a partir daí, mantém sua velocidade constante de 2,4 m/s. Precisamos, portanto, saber qual é a equação da velocidade do ciclista C2 até t = 5s.

Da mesma forma o seu gráfico começa com V0C2 = 0 e passa pelo ponto VC2 = 2,4 quando t = 5. Assim, substituindo esse valores na equação temos:

Então:

A posição de C1 quando t = 6 s:

A posição de C2 quando t = 6 s deve ser calculada somando os dois trechos, já que ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até 5 s e um Movimento Retilíneo Uniforme a partir deste tempo. Assim, calculamos o deslocamento de C2 até t = 5 s:

Distância percorrida no intervalo de tempo t = 5 s até t = 6 s, ou seja, em apenas 1 segundo. Aqui, como não há aceleração pois a velocidade é constante (V = 2,4 m/s), basta usar a mesma equação porém com aceleração nula (isso irá resultar a equação da posição de MRU)

Assim, a distância percorrida pelo ciclista C2 será de:

A distância entre eles será de 8,4 - 7,2 = 1,2 m

Exercício 2 -

a) Como o atleta percorre 100 m em 10 s, sua velocidade média será de:

b) Aproximando o gráfico na primeira parte por uma reta, até t = 5 s temos:

Como mostrado em amarelo, a aproximação fica abaixo do real. Há duas áreas formadas pelas curvas; uma primeira fica acima da reta o que garante que a reta esta sub-estimando a velocidade; e uma segunda que fica abaixo da reta, próxima do ponto marcado em preto, que super-estima a velocidade. Porém, visivelmente a primeira área é muito superior à segunda, o que garante que a aproximação por reta é sub-estimada, ou seja, o deslocamento calculado no primeiro intervalo usando a reta será inferior ao real deslocamento. Porém, vamos calcular quando seria vf se os gráficos fossem as retas:

Precisamos, primeiramente, calcular a aceleração no primeiro trecho, imaginando que seja uma eta:

Como V0 = 0 e o tempo final é t = 5 s

Assim, o deslocamento no primeiro trecho será:

No segundo treco ( entre t = 5 s e t = 10 s, ou seja, num intervalo de tempo de 5 s) a velocidade foi aproximada para uma constante, V = Vf. Neste trecho, o deslocamento é dado por:

O deslocamento total será:

Mas o deslocamento total é de 100 m:

Porém, como sabemos que o primeiro trecho o deslocamento foi um pouco maior, ou seja:

Desta forma, o Stotal real será um pouco maior, o que irá causar uma leve redução de Vf. Assim, um valor bastante coerente para Vf é de 13 m/s.

Exercício 3 -

a) A situação de maior velocidade será se o trem partir com aceleração de 2 m/s² a, no meio do trajeto, desacelerar a 2 m/s². Neste caso, ele irá percorrer 400 m com aceleração de 2 m/s² e 400 m com a desaceleração de mesma intensidade. Usando a equação de Torricelli temos:

onde d é o deslocamento. Neste caso, temos d = 400 m, a = 2 m/s² e como ele parte do repouso, V0 = 0, então:

b) O tempo pode ser calculado pela equação da velocidade. Na primeira metade ele alcança a velocidade de 40 m/s, assim:

Como a primeira metade do trajeto é percorrida com aceleração de 2 m/s² e, da mesma forma, a segunda metade é percorrida com desaceleração de 2 m/s², o tempo de cada trecho é o mesmo. Assim o tempo total será de 40 s.

Veja também:

5 Exercícios Resolvidos de Resistência Equivalente Para Você Fixar o Assunto

Exercício 4 -

a) O objeto que parte de A se desloca em MRUV. Assim, sua posição é dada por:

Como ele parte do repouso e desconsiderando sua posição inicial, temos:

O objeto que parte de B, se desloca em MRU:

O exercício fala que após 10 s eles se encontram no meio do percurso, ou seja, eles percorreram 25 m. Assim SB = 25 m e SA = 25 m.

Substituindo na equação de SB para calcular sua velocidade, temos:

b) Substituindo os dados na equação de SA temos:

Usando a equação de Torricelli temos:

Substituindo os valores para saber a velocidade do objeto que partiu de A no ponto B:

Exercício 5 -

Se você chegou até aqui, parabéns, a sua vontade em aprender este assunto já me fala muito sobre você.

É preciso se concentrar e estar atento aos detalhes, além de exercitar e isso exige dedicação.

Vamos ao exercício 5:

a) Neste exercício basta saber que a equação de movimento é dada por:



Como ele se desloca de acordo com a equação:

 

Então:
Posição inicial S0 = 40 m
Velocidade inicial V0 = 10 m/s
Aceleração a = 2 m/s²

b) Para o tempo de 10 s, a sua posição será:



Como a velocidade em MRUV é dada pela equação:



Temos, no tempo 10 s:

Exercício Resolvido - MRU e MRUV, Mosca e trem.

Um trem esta numa estação A, inicialmente em repouso e parte com aceleração de 0,3 m/s².
Numa estação B parte do repouso outro trem, com aceleração de 0,1 m/s².
Pousada em seu nariz há uma mosca que neste mesmo instante passa a voar retilineamente em direção ao trem B com velocidade constante de 15 m/s.

Ambos os trens deslocam-se um de encontro ao outro e a distância inicial deles é de 500 m.
A mosca que inicialmente estava no nariz do trem A voa e encosta no B. Após isso, sem alterar sua velocidade, retorna e encosta no trem A, repetindo este procedimento até que os trens se chocam e a mosca morre esmagada.

a) Qual o tempo que levará até que a mosca morra esmagada?
b) Qual o deslocamento de cada um dos trens?
c) Qual a distância percorrida pela mosca?

Solução

a) A equação que descreve a posição dos trens é a equação do MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado), já que ambos possuem aceleração constante.

SA = SoA + VoA*t + aA*t²/2
SB = SoB + VoB*t + aB*t²/2

Considerando que o trem A desloca-se em uma direção positiva (ou seja, com isso o deslocamento de B será negativo, já que os trens se deslocam em direções opostas) e que a sua posição inicial é a origem, temos que SoA = 0 e que SoB = 500 m. Como ambos os trens partem do repouso temos que suas equações da posição de cada trem ficam:

SA = aA*t²/2
SB = 500 + aB*t²/2

Como o trem B se desloca numa direção negativa, sua aceleração é negativa, aB = -0,1 m/s², logo:

SA = 0,3*t²/2
SB = 500 - 0,1*t²/2

Quando os trens se chocam, ambos estão no mesmo ponto, logo SA = SB. E com isso podemos calcular o tempo que leva até eles se chocarem:

SA = SB
0,3*t²/2 = 500 - 0,1*t²/2
Multiplicando tudo por 2
0,3*t² = 1000 - 0,1*t²
Com isso
0,4*t² = 1000
t² = 2500
t = 50 s

b) Como o tempo que os trens levam para se chocarem é de 50 s, basta substituir este tempo nas equações da posição dos trens e ver quanto eles se deslocaram. Para o trem A:

SA = 0,3*t²/2
SA = 0,3*50²/2
SA = 375 m
Logo o deslocamento do trem A é de 375 m.

Para o trem B:

SB = 500 - 0,1*t²/2
SB = 500 - 0,1*50²/2
SB = 500 - 125
SB = 375 m

Este resultado não é o quanto o trem B se DESLOCOU, mas sim a POSIÇÃO do trem B após os 50 s. Como deveria ser, veja que o resultado é o mesmo do trem A, o que é bastante óbvio já que eles se chocam e para isso precisam estar na mesma posição. Para saber o deslocamento do trem B, basta lembrar que ele partiu do ponto SoB = 500 m. Se no fim ele estava no ponto 375 m, então ele se deslocou:

500 - 375 = 125 m
Logo, o deslocamento do trem B é de 125 m.

c) Para o cálculo de quanto a mosca percorreu basta usar as equações de MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) pois a velocidade da mosca não se altera em momento nenhum.

SMOSCA = VMOSCA*t

Como já sabemos o tempo (t = 50 s) e a velocidade dela é de 15 m/s:

SMOSCA = 15*50 = 750 m
Logo, a distância percorrida pela mosca é de 750 m.

Comentários:
A distância percorrida pela mosca é maior que a distância entre os trens, o que parece ser bem estranho. Porém lembre-se que a mosca fica "indo e voltando" de um trem para o outro e por isso acaba percorrendo uma distância maior que os 500 m.

Choque com mola - Quantidade de movimento e energia

Um corpo de massa m1 = 2 kg escorrega por uma mesa sem atrito com velocidade de 10m/s. Diretamente à frente do corpo, deslocando-se com velocidade de 3 m/s, na mesma direção, está outro corpo de massa m2 = 5 kg. Uma mola ideal (ver figura) apresenta rigidez elástica K = 1120 N/m e está presa ao segundo bloco. Qual a máxima deformação na mola?

Solução:
Inicialmente, vamos pensar que o conjunto formado pelos dois blocos e pela mola é um corpo só. Como não há força externa agindo, a quantidade de movimento será, obrigatoriamente mantida. Ainda, como a mola é ideal, ela não tem massa, logo, não possui quantidade de movimento e não há perda de energia ao ser comprimida.

Assim:
Qantes = m1*v1 + m2*v2 = 2 kg * 10 m/s + 5 kg * 3 m/s = 20 kg.m/s + 15 kg.m/s = 35 kg.m/s

Agora, perceba o que irá ocorrer após o choque:
Como o bloco1 está mais rápido, ele irá agir no conjunto bloco2+mola e claro, sofrerá uma reação. Esta força é verificada na mola, que será comprimida, porém, ao mesmo tempo o conjunto bloco2+mola irá acelerar, da mesma forma, o bloco1 irá desacelerar, como reação. Isso vai ocorrer até um certo instante, onde a velocidade do conjunto será a mesma, ou seja, o bloco1 desacelera e o conjunto bloco2+mola acelera, num dado momento, eles terão mesma velocidade e a partir daí, a mola irá empurrar o bloco1, isto vai fazer com que o bloco1 diminua ainda mais sua velocidade, e a velocidade do conjunto bloco2+mola continua aumentando.

Mas, o que vale, é que nesse instante de velocidade igual há a máxima compressão da mola e, como se sabe, a quantidade de movimento é a mesma, ou seja, 35 kg.m/s.

Logo:
Qdepois = (m1 + m2)*v
35 kg.m/s = (2 kg + 5 kg)*v
v = 5 m/s

Por ser a mola ideal, não há perdas de energia, ou seja, a energia inicial do conjunto é mantida, logo:

Eantes = m1*(v1²)/2 + m2*(v2²)/2 = 100 N.m + 22,5 N.m = 122,5 N.m

Edepois = (m1 + m2)*(v²)/2 + k*x²/2

122,5 N.m = (7*25)/2 N.m + 1120*x²/2 N.m
35 = 560*x²
x² = 0,0625
x = 0,25 m

Logo, x = 25 cm

Este exercício ainda pode ser feito utilizando a velocidade relativa. O raciocínio é o mesmo:

Qantes = m1*v1relativa = 2*7 = 14 kg.m/s
Eantes = m1*(v1relativa²)/2 = 49 N.m

Qdepois = (m1 + m2)*v = 7*v
14 = 7*v
v = 2 m/s

Edepois = (m1 + m2)*v²/2 + k*x²/2
49 = 7*2²/2 + 1120*x²/2
49 = 14 + 560x²
35 = 560x²
x = 0,25 m = 25 cm

Exercício Resolvido - Queda livre

Considere uma mulher que cai de 43 metros do topo de um edifício sobre uma caixa metálica que afunda 45cm. A mulher sobrevive sem ferimentos graves. Suponha que a acereleração na colisão é constante. Determine o valor da desaceleração da colisão.

Solução:
Considerando g = 10m/s² sabemos que a velocidade dela ao atingir a caixa é de:
V² = Vo² + 2*g*H
Como Vo = 0
V² = 2*10*43
V² = 860
V = 29,33m/s

Ela percorre 0,45m até parar no choque. Utilizando a mesma fórmula, só que agora queremos velocidade final nula, temos:
V² = Vo² + 2*a*H'
0² = 29,33² + 2*a*0,45
0,9*a = -860
a = -955,56m/s²

O sinal negativo é coerente, já que é uma desaceleração.

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/mruv.html
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/queda-livre.html

Lançamento oblíquo

Uma bola é lançada verticalmente para cima, e demora 2,22 segundos até atingir 36,8m. Determine:

a-) a velocidade inicial;
b-) a velocidade na altura de 36,8m;

c-) a distancia adicional que o corpo percorre até parar.

Solução:

Adotando g = 10m/s²

a) Da equação H = Vo*t - g*t²/2

O sinal negativo de g é pelo fato de o sentido de g ser contrário ao da velocidade.

36,8 = Vo*2,22 - 10*2,22²/2

61,442 = Vo*2,22

Vo = 27,68 m/s

b) V = Vo - g*t = 27,68 - 10*t = 27,68 - 22,2 = 5,48m/s

c)V² = Vo² - 2*g*H

Como a velocidade final é zero:

0² = 27,68² - 2*10*H

20H = 766,18

H = 38,31m

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/lancamento-obluiquo-seno-e-cosseno.html

http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/02/lancamento-vertical.html

http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/02/lancamento-obliquo.html
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/queda-livre.html

Exercício resolvido - Queda Livre

Uma chave de fenda cai de uma construção e atinge o solo com velocidade de 24m/s. Determine:
a-) a altura inicial antes da queda;
b-) o tempo de queda.

Solução:
A velocidade final é de 24m/s. Vou assumir que a aceleração da gravidade é 10m/s²
a) Pela equação V² = Vo² + 2*a*h, temos que:
24² = 0² + 2*10*h
576 = 20*h
h = 28,8m

b)
h = g*t²/2
h = 10*t²/2
28,8 = 10*t²/2
57,6 = 10*t²
5,76 = t²
t = 2,4s

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/mruv.html
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/queda-livre.html

Exercício Resolvido - Corrente em uma polia

Uma corrente uniforme e flexível de comprimento L (m), pesando λ (kg/m) (onde λ é definido como sendo a densidade linear de massa) passa por uma pequena polia sem atrito e sem massa. Ela é solta de uma posição de repouso com x metros de corrente pendendo de um lado e (L - x) metros de outro lado. Desprezando qualquer efeito de reação da polia que não seja vertical e desconsiderando-se o seu tamanho, responda: a) Sob que condições a corrente se acelerará? b) Admitindo que essas condições são satisfeitas, ache a aceleração em função de x, da gravidade g e do comprimento da corrente L.

Solução:
a) A corrente irá acelerar-se se um dos lados for mais pesado que o outro, ou seja, a força resultante for diferente de zero.

b) Sendo x a parte da corrente do lado direito temos L-x do lado esquerdo.
Então, neste instante inicial, a força do lado direito é a força peso da parte da corrente que esta deste lado, ou seja Md*g, onde Md é a massa da corrente do lado direito. Do lado esquerdo, de forma análoga, temos Me*g.

Mas Md = λ*x, e Me = λ*(L-x)
Estas duas são as únicas forças atuando no sistema, assim, vamos supor que a porção da corrente do lado direito seja maior.
Temos então:
Md*g - Me*g = M*a, onde a é a aceleração do sistema e M a massa total, podemos ainda dizer que
λ*x*g - λ*(L-x)*g = M*a
Mas
M = λ*L
Logo
λ*x*g - λ*(L-x)*g = λ*L*a
Dividindo tudo por λ

x*g - (L-x)*g = L*a
-L*g + 2*x*g = L*a

Assim, a = -g + 2*x*g / L = g*(2x/L - 1)

Exercício Resolvido - Queda Livre e tempo

Um corpo parte do repouso e cai livremente de uma altura H acima do solo. O efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade constante. Se na primeira metade do percurso o corpo gasta um tempo ta , e na segunda metade um tempo tb, determine a razão ta/tb.

Solução:

Vamos calcular o tempo gasto para percorrer a 1ª distância H/2 (ta):

Sabemos que

S = So + Vo*t + a*t²/2
substituindo

H/2 = Ho + Vo*t + g*ta²/2

Ho = 0

Vo = 0 (parte do repouso)

H/2 = g*ta²/2

g*ta² = H

ta² = H/g

ta = √(H/g)

Mas ao chegar neste ponto, a velocidade do corpo é:

V = Vo + a*ta, substituindo temos:

V = 0 + g*ta

V = g*ta.

No segundo percurso de H/2, o corpo já não esta mais em repouso, pois sua velocidade é de V = g*ta

Assim, a equação

S = So + Vo*t + a*t²/2, fica

H = H/2 + (g*ta)*tb + g*tb²/2

H/2 = g*tb*(ta + tb/2).

H = g*tb*(2*ta + tb)

Mas H = g*ta²

g*ta² - 2*g*ta*tb - g*tb² = 0, dividindo tudo por g

ta² - 2*ta*tb - tb² = 0

Dividindo tudo por tb² temos

(ta/tb)² - 2*(ta/tb) - 1 = 0

Seja x = ta/tb

x² - 2x - 1 = 0

Raizes de uma equação do 2º grau.

Resolvendo temos que

x1 = (2 + 2*√2)/2 = 1+√2

x2 = 1 - √2, que é negativa, portanto não serve, já que os tempos são positivos

Mas x = ta/tb

Logo, 1+√2 é a resposta.

Exercício Resolvido: MRUV

Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual a 2,0 m/s² em uma trajetória retilínea. Após 20 s, começa a frear uniformemente até parar a 500 m do ponto de partida. Em valor absoluto, a aceleração de freada foi:

a) 8,0 m/s²

b) 6,0 m/s²

c) 4,0 m/s²

d) 2,0 m/s²

e) 1,6 m/s²

Solução:
Posição inicial (como não fala nada, zero)
So = 0

Parte do repouso:

Vo = 0

Aceleração:
a = 2m/s²

Vamos verificar o movimento entes de frear:

Utilizando a equação:

S = So + Vo*t + a*t²/2

S = 0   +  0*t   + 2*20²/2

S = 400m

E quando ele chega neste ponto, sua velocidade é:

V = Vo + a*t 
V = 0    + 2*20 
V = 40m/s

Assim, após ele percorrer os 400 m, ele passa a frear até parar. Neste segundo momento o 'So' já não é mais zero, pois a posição que esta o móvel aqui é 400 m e ele irá parar em 500 m, logo o 'So = 400 m' e o 'S = 500 m'.

A velocidade inicial 'Vo' também não é mais nula aqui, pois ele está com velocidade de 40 m/s. Como ele vai frear até parar o carro, a velocidade final 'V' é que será zero.
Utilizando a equação:

5 Exercícios Resolvidos clássicos de MRUV e MRU para você fixar o assunto

Exercício Resolvido - MRU e MRUV, Mosca e trem

Exercícios resolvido - Movimento uniforme

V² = Vo² + 2*a*(S - So), 'a' é a desaceleração que queremos achar.

0² = 40² + 2*a*(500 - 400)

-1600 = 2*a*100

a = -8m/s²

Logo, a desaceleração foi de 8m/s², letra a)