Veja 5 exercícios resolvidos de MRUV e MRU
1 - O gráfico abaixo mostra a velocidade de dois ciclistas (C1 e C2) em função do tempo. Ambos partem
da posição inicial zero pata t = 0 e percorrem trajetórias retilíneas no mesmo sentido. Com base nos dados da figura, determine:
a) o valor da aceleração do ciclista C1 no instante t = 5 s;
b) a distância entre os ciclistas no instante em que eles têm a mesma velocidade.
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| Gráfico da velocidade do ciclista 1 (em azul) e do ciclista 2 (em vermelho). É possível verificar que ambos desenvolvem um movimento MRUV inicialmente, e depois MRU. |
2 - Numa prova de 100 m rasos, um atleta consegue percorrê-los em 10 s. O gráfico a seguir mostra,
aproximadamente, como varia a velocidade deste atleta durante a prova. Com isso determine:
a) qual a velocidade média durante os 10 s.
b) estime, a partir do gráfico, um valor razoável para vf.
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| Gráfico da velocidade do atleta nos 10 s de duração da prova |
3 - A maior aceleração (ou desaceleração) que é desejável que os passageiros de um trem urbano sintam é de 2 m/s². Se a distância entre duas estações consecutivas é de 800 m e supondo que o trem pare em todas as estações, calcule:
a) a máxima velocidade que o trem pode atingir.
b) o tempo mínimo que o trem deve levar de uma estação até a outra.
4 - Um objeto parte do repouso de um ponto A e percorre, em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado um trecho até outro ponto B. No mesmo instante em que o primeiro objeto parte de A para B, outro parte de B em direção à A em Movimento Retilíneo Uniforme (velocidade constante). A distância entre A e B é de 50 m. Depois de 10 s da partida, os objetos se cruzam exatamente no meio do percurso AB. Com isso, calcule:
a) a velocidade do móvel que partiu de B.
b) a velocidade do objeto que partiu de A chegará em B.
5 - Um ciclista se desloca de acordo com a equação S = 40 + 10t + t² com dados no SI. Com isso, determine:
a) a posição inicial do ciclista, a velocidade inicial do ciclista e a aceleração do ciclista
b) sua posição S e velocidade V quando o tempo for 10 s
Soluções:
Exercício 1 -
a) A equação da velocidade é dada por:
Como para t = 0, V0C1 = 0, temos:
Porém, no gráfico a reta passa pelo ponto VC1 = 4 m/s, t = 10 s. Então:
Como a velocidade de C1 cresce linearmente no trecho de 0 s até 10 s, então sua aceleração é constante. Assim, neste intervalo de tempo:
b) Vendo o gráfico percebemos que há uma intersecção dos gráficos.
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| Ponto onde ambos os ciclistas possuem a mesma velocidade marcado com um círculo em preto |
Como este é um gráfico da velocidade pelo tempo, a intersecção ocorre quando ambos têm a mesma velocidade e, é possível perceber que ela ocorre quando o ciclista C2 já está com velocidade contante de 2,4 m/s. Agora, é preciso saber qual o tempo, porém isso fica simples da saber pois já temos a equação da velocidade do ciclista C1 até 10 s.
Então:
Agora, é preciso calcular a posição de cada um dos ciclistas para saber a diferença entre elas, assim temos a distância entre eles:
A equação da posição em MRUV é:
No caso do exercício temos que até 6 s, o ciclista C1 esteve unicamente em movimento MRUV, pois o gráfico de sua velocidade manteve-se como uma reta crescente sem mudança brusca de inclinação. Porém, não pode-se dizer o mesmo do ciclista C2, que no tempo t = 5 s sua velocidade passa a ser constante. Assim, ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até o tempo de 5 s e a partir daí, mantém sua velocidade constante de 2,4 m/s. Precisamos, portanto, saber qual é a equação da velocidade do ciclista C2 até t = 5s.
Da mesma forma o seu gráfico começa com V0C2 = 0 e passa pelo ponto VC2 = 2,4 quando t = 5. Assim, substituindo esse valores na equação temos:
Então:
A posição de C1 quando t = 6 s:
A posição de C2 quando t = 6 s deve ser calculada somando os dois trechos, já que ele desenvolve um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado até 5 s e um Movimento Retilíneo Uniforme a partir deste tempo. Assim, calculamos o deslocamento de C2 até t = 5 s:
Distância percorrida no intervalo de tempo t = 5 s até t = 6 s, ou seja, em apenas 1 segundo. Aqui, como não há aceleração pois a velocidade é constante (V = 2,4 m/s), basta usar a mesma equação porém com aceleração nula (isso irá resultar a equação da posição de MRU)
Assim, a distância percorrida pelo ciclista C2 será de:
A distância entre eles será de 8,4 - 7,2 = 1,2 m
Exercício 2 -
a) Como o atleta percorre 100 m em 10 s, sua velocidade média será de:
b) Aproximando o gráfico na primeira parte por uma reta, até t = 5 s temos:
Como mostrado em amarelo, a aproximação fica abaixo do real. Há duas áreas formadas pelas curvas; uma primeira fica acima da reta o que garante que a reta esta sub-estimando a velocidade; e uma segunda que fica abaixo da reta, próxima do ponto marcado em preto, que super-estima a velocidade. Porém, visivelmente a primeira área é muito superior à segunda, o que garante que a aproximação por reta é sub-estimada, ou seja, o deslocamento calculado no primeiro intervalo usando a reta será inferior ao real deslocamento. Porém, vamos calcular quando seria vf se os gráficos fossem as retas:
Precisamos, primeiramente, calcular a aceleração no primeiro trecho, imaginando que seja uma eta:
Como V0 = 0 e o tempo final é t = 5 s
Assim, o deslocamento no primeiro trecho será:
No segundo treco ( entre t = 5 s e t = 10 s, ou seja, num intervalo de tempo de 5 s) a velocidade foi aproximada para uma constante, V = Vf. Neste trecho, o deslocamento é dado por:
O deslocamento total será:
Mas o deslocamento total é de 100 m:
Porém, como sabemos que o primeiro trecho o deslocamento foi um pouco maior, ou seja:
Desta forma, o Stotal real será um pouco maior, o que irá causar uma leve redução de Vf. Assim, um valor bastante coerente para Vf é de 13 m/s.
Exercício 3 -
a) A situação de maior velocidade será se o trem partir com aceleração de 2 m/s² a, no meio do trajeto, desacelerar a 2 m/s². Neste caso, ele irá percorrer 400 m com aceleração de 2 m/s² e 400 m com a desaceleração de mesma intensidade. Usando a equação de Torricelli temos:
onde d é o deslocamento. Neste caso, temos d = 400 m, a = 2 m/s² e como ele parte do repouso, V0 = 0, então:
b) O tempo pode ser calculado pela equação da velocidade. Na primeira metade ele alcança a velocidade de 40 m/s, assim:
Como a primeira metade do trajeto é percorrida com aceleração de 2 m/s² e, da mesma forma, a segunda metade é percorrida com desaceleração de 2 m/s², o tempo de cada trecho é o mesmo. Assim o tempo total será de 40 s.
Veja também:
5 Exercícios Resolvidos de Resistência Equivalente Para Você Fixar o Assunto
Exercício 4 -
a) O objeto que parte de A se desloca em MRUV. Assim, sua posição é dada por:
Como ele parte do repouso e desconsiderando sua posição inicial, temos:
O objeto que parte de B, se desloca em MRU:
O exercício fala que após 10 s eles se encontram no meio do percurso, ou seja, eles percorreram 25 m. Assim SB = 25 m e SA = 25 m.
Substituindo na equação de SB para calcular sua velocidade, temos:
b) Substituindo os dados na equação de SA temos:
Usando a equação de Torricelli temos:
Substituindo os valores para saber a velocidade do objeto que partiu de A no ponto B:
Exercício 5 -
Se você chegou até aqui, parabéns, a sua vontade em aprender este assunto já me fala muito sobre você.
É preciso se concentrar e estar atento aos detalhes, além de exercitar e isso exige dedicação.
Vamos ao exercício 5:
a) Neste exercício basta saber que a equação de movimento é dada por:
Como ele se desloca de acordo com a equação:
Então:
Posição inicial S0 = 40 m
Velocidade inicial V0 = 10 m/s
Aceleração a = 2 m/s²
b) Para o tempo de 10 s, a sua posição será:
Como a velocidade em MRUV é dada pela equação:
Temos, no tempo 10 s:
