Prova ENEM 2011 - Logaritmo

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os
grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é  uma escala logarítmica. MW e M0 se relacionam pela fórmula:

Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície,  através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW = 7,3.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.

Disponível em: http://www.earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.

Disponível em: http://www.earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)?

Solução:

Inicialmente, para solucionar esse exercício, é preciso saber que a função Log é a inversa da função exponencial, ou seja:

Deste modo, como Mw = 7,3, então:

Resposta: E)

Exercícios Resolvido - Petrobrás - Profissional Júnior Formação Administração - Questão 26

Considere a sequência numérica an, n ∈ ℕ definida por:

O termo an pode ser obtido através de:

(A) n∙log(2)

(B) (n+2)∙log(2)

(C) [n∙(n+1)/2]∙log(2)

(D) log(2ⁿ-1)

(E) log(2ⁿ⁺¹-2)

Solução:

Utilizando a seguinte propriedade de logaritmo:

log(xⁿ) = n∙log(x), podemos dizer que:

an+1 = an + log(2ⁿ⁺¹)

an+1 = an + (n+1)∙log(2)

Assim:

an = an-1 + n∙log(2)

Substituindo:

an+1 =  an-1 + n∙log(2)  + (n+1)∙log(2)

Se continuássemos com estas substituições:

an-1 = an-2 + (n-1)∙log(2)

an+1 =  an-2 + (n-1)∙log(2)  + n∙log(2)  + (n+1)∙log(2)

...

an+1 =  a1 + 2∙log(2) + 3∙log(2) + 4∙log(2) + ... + (n-1)∙log(2)  + n∙log(2)  + (n+1)∙log(2)

an+1 =  a1 + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]

Como a1 = log(2)

an+1 =  log(2) + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]

an+1 =  log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]

Ainda, o termo an, que é o que interssa nesse exercício, é obtido por:

an =  log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n ]

Perceba que dentro do [] existe a soma de uma PA (aula sobre Progressão Aritmética), que é dada pela fórmula:

S = (a1 + an)*(n/2) = (1 + n)*(n/2)

Assim,

an =  log(2)∙(1 + n)*(n/2)

Letra (C).

Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/progressao-aritmetica-pa.html