Força de Euler, Einstein, Coriolis e Centrífuga: Referencial não inercial.

Demonstração das forças que atuam em uma partícula ligada a um referencial não inercial: Força de Euler, de Einsteins, de Coriolis e Centrífuga (centrípeta).

Demonstre todas as possíveis forças que atuam em uma partícula em um referencial não inercial.

Solução:

Por motivos didáticos e para simplificar o post, a demonstração será feita em duas dimensões, porém o resultado pode ser estendido para um caso tridimensional. Isso irá facilitar bastante a visualização.

Veja o desenho abaixo que representa um referencial fixo (inercial, em preto) formado pelos eixos x, y e z, onde z esta saindo da tela em direção ao leitor. Em azul esta o referencial não inercial e o ponto P onde queremos calcular as forças. Seria algo como um avião, onde o ponto P é uma pessoa dentro deste avião. Assim, definimos as coordenadas deste ponto em relação a um referencial no avião, porém como este avião faz curvas e acelera este referencial é não inercial.

Obs.: Vale salientar que o tamanho dos eixos (x,y) estão diferentes dos eixos (xn, yn) mas todos eles têm módulo unitário. Na figura, x e y representam a direção onde aponta os vetores unitário x e y.

Do que se pode ver da figura, temos o vetor posição do ponto P descrito como:

r = R + rn

Porém, o vetor R possui suas coordenadas escritas no referencial inercial (x,y,z), mas o vetor rn não. As coordenadas de rn estão descritas no referencial (xn, yn, zn). Assim, podemos escrever os vetores R e rn segundo seus versores:

Assim, temos definida a posição do ponto P, que é dada pelo vetor r.

Para obter a velocidade do ponto P, basta derivar em relação ao tempo o vetor r. Neste caso, é importante perceber que os versores inerciais (x,y,z) não se alteram, porém os não inerciais mudam com o tempo. Ainda, como estabelecemos que o movimento será bidimensional, então o sistema não inercial poderá rotacionar apenas em torno do eixo zn, ou seja, existe uma velocidade angular ω na direção zn. Esta velocidade angular irá alterar o ângulo formado entre os sistemas de referência. Veja na figura a seguir:

Nesta última figura fica fácil perceber algumas coisas importantes:

Voltando ao resultado do vetor r que obtivemos anteriormente:

Derivando no tempo temos:

Porém, como os eixos x e y são constantes, suas derivadas serão nulas o que elimina o termo na qual eles estão multiplicando. O mesmo ocorre para os eixos z e zn, já que estamos considerando que o movimento é bidimensional, neste caso eles não alteram suas direções, mantendo-se constante. Isso ocorre pois toda rotação se da nas direções z (ou zn, já que eles têm mesmo direção e sentido). Neste caso temos:

Definindo algumas simplificações:

Onde V seria a velocidade com que a origem do referencial não inercial se afasta da origem do referencial inercial.

Onde vn seria a velocidade do ponto P em relação ao referencial não inercial.

Restou o termo:

Para isso, precisamos derivar os versores do referencial não inercial:

Mas, vejam que feliz coincidência. Observando as relações obtidas antes, temos que:

Fazendo o mesmo para o dyn/dt chegamos que:

Assim:

Porém, como yn = zn × xn e xn = -zn × yn, onde × é o produto vetorial e, ainda, sabendo que a velocidade angular tem direção zn, temos:

Desta forma:

Para obtenção das acelerações, basta que derivemos mais uma vez:

Mas, de forma similar obtemos que:

Que seria a aceleração com que o referencial não inercial se afasta do referencial inercial.

onde, já foi mostrado que:

Assim:

Que pode ser escrito como:

Multiplicando pela massa todos os termos, temos a força que age no corpo, assim teremos:

Mudando para força (F):

Podendo ser escrito da seguinte forma:

Perceba que se o referencial fosse inercial, o lado esquerdo da igualdade deveria ser nulo segundo a 2ª Lei de Newton. Isolando a força Fn temos a 2ª Lei de Newton para um referencial não inercial e podemos "nomear" cada uma das forças (que na verdade são pseudo forças, pois são reações aparentes que uma partícula sente num referencial não inercial) que ficam do lado direito da igualdade, segundo cada um dos físicos que às descobriram:

Veja que todas elas têm sinal '-' pois representam "reações". A seguir alguns comentários com relação a essas forças.

A pseudo força Centrífuga é facilmente percebida quado estamos num carro, por exemplo, e ele faz uma curva. Neste caso, há uma tendência de sermos empurrados para fora do carro (ou para fora da curva). Esta tendência é a reação da força centrípeta, que age no carro puxando-o para dentro.

A pseudo força de Euler ocorre quando há variação da velocidade angular. Ela tem direção oposta à variação da velocidade angular. Imagine um disco girando e você sobre ele em pé e imóvel. Se a velocidade angular for constante irá agir a força centrípeta na direção radial, porém se a velocidade angular começar a aumentar, é possível que você se desequilibre e caia para trás ou para frente (dependendo se a velocidade angular aumenta ou diminui). Esta é a pseudo força de Euler. Note que não houve ação de força nenhuma mas sim um torque que fez com que o disco girasse mais rápido, assim a aceleração angular fez aumentar a velocidade tangente no ponto em que você estava em pé e com isso, aumentou-se a força de atrito entre você e o disco. Surgiu uma força, portanto, devido ao aumento da velocidade angular. A reação a esta força é a pseudo força de Euler. 

A pseudo força de Coriolis é percebida, por exemplo, na brincadeira em que um pessoa, sentada em uma cadeira, gira com os braços abertos. Em determinado momento, ao puxar os braços em direção ao corpo sua velocidade de rotação aumenta. Para um observador que vê de fora o que esta ocorrendo, nada se altera o que ocorre é apenas a conservação do momento angular. Porém a pessoa sentada na cadeira sente que, ao puxar seus braços em direção ao corpo estes tendem a girar mais rápido, já que sua distância em relação ao eixo de rotação esta diminuindo. Desta forma, esta pessoa precisa fazer uma força "segurando seu braço" para que ele não gire mais rápido. Assim, todo o corpo irá aumentar sua velocidade angular. Neste caso, a pessoa sentada sente como se uma força fizesse acelerar sua rotação. Esta é a ação da pseudo força de Couriolis.

A pseudo força de Einstein  é uma reação ao movimento de translação do corpo e ela é constantemente percebida por nós. Por exemplo, quando um avião vai decolar e somos "empurrados" para trás. Outro exemplo interessante é o de um bloco sobre um plano inclinado. Se não houver atrito este bloco vai escorregar para baixo. Porém, se este plano inclinado for acelerado esta aceleração irá "agir" no bloco fazendo com que a velocidade com que ele escorrega seja alterada. Esta pseudo força é chamada de Força de Einstein.

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física

Dois blocos de massas iguais estão ligados por um cabo inextensível e de massa desprezível. Esses blocos são puxados para a direita por uma força F, constante.

Considerando-se que não há atrito e desprezando-se a resistência do ar, qual o módulo da tensão no cabo?

Solução:
Como F é o único dado do exercício, devemos achar nossa resposta em função de F.
Este é um exercício típico de ação e reação (3ª Lei de Newton). Perceba que existe uma força agindo no bloco da direita, porém esta força é transmitida ao outro bloco por meio de um cabo. Neste exercício os objetos não estão parados, logo existe uma força resultante em cada um. O bloco da direita sofre a ação de duas forças: da força F e da tração do cabo, que age nele de forma contrária à força F, justamente pelo fato da ação e reação, ou seja, este cabo realiza a ação de puxar a bola da esquerda com uma força, como reação, ela (a bola da esquerda) puxa o cabo. Ambas têm mesma intensidade, direção porém sentido contrário. No bloco da esquerda há apenas uma força agindo nele, esta é a força de tração do cabo, porém nele ela tem sentido igual à da força F, ou seja, da esquerda para a direita.
Como ambos se movem com uma aceleração igual, a força resultante nos dois deve ser igual, pois eles possuem massas iguais.

Veja outros exercícios desta mesma prova:
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 37 - Física
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 42 - Física

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 45 - Física

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 49 - Física

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 51 - Física

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 55 - Física

Assim:
Força resultante agindo no bloco da direita deve ser igual à sua massa multiplicada da sua aceleração:

$ \left | F \right | \, - \, \left | T \right | \, = \, m \times a $

Força resultante agindo no bloco da esquerda deve ocorrer o mesmo:

$ \left | T \right | \, = \, m \times a $

Assim:

$ \left | F \right | \, = \, 2m \times a $

$ m \times a \, = \, \frac{\left | F \right |}{2} $

$ \left | T \right | \, = \, \frac{\left | F \right |}{2} $

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 35 - Física

Dois blocos de massas 10 kg e 20 kg estão suspensos por cabos, conforme ilustrado na figura. O cabo A é preso ao teto e faz um ângulo de 60º com a horizontal. O cabo B é perpendicular à direção vertical.

Considerando que os blocos estão em equilíbrio estático, qual o valor do módulo da tensão no cabo A?

Dados:

sen 60º = √3/2

cos 60º = 0,5

g = 10 m/s²

Solução:

Nesta questão deve-se perceber que agindo no ponto que o cabo B esta fixo na parede, e assim, existe nele uma tração.

Exercícios deste tipo tornam-se relativamente simples quando nos damos conta que o sistema está em equilíbrio, ou seja, não há nada se movendo com aceleração. Neste caso, esta tudo estático. Essa observação é importante pois com isso, temos a certeza de que a força resultante em qualquer ponto deve ser nula, pois se não fosse nula, este ponto não estaria parado.

Vou chamar o ponto de união do cabo A ao B de ponto P. Este ponto, como todos os outros, está parado, ou seja, a força resultante nele é nula. Observando a figura percebemos que existem três forças atuando nesse ponto:

1ª - A tração do cabo A

2ª - A tração do cabo B

3ª - A tração do cabo que suspende os blocos

Assim, a soma vetorial dessas forças deve ser nula.
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Veja outros exercícios desta mesma prova:
Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 36 - Física

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 41 - Física

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 42 - Física

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 49 - Física

Exercício Resolvido - Prova Petrobrás Tec Inspeção Equipamentos 01/2011 questão 55 - Física
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Para facilitar nossa vida, convém decompor a tração do cabo A em duas forças uma na direção vertical e outra na horizontal:

Para que o ponto P esteja em equilíbrio devemos ter:

FB = FAHor e;

FBlocos = FAVert

Ainda, devemos saber que FAVert é a projeção vertical da tração em A e FAHor é a projeção horizontal. Assim, FA*Sen(60°) = FAVert e FA*Cos(60°) = FAHor. Este ângulo de 60° é o que o cabo A faz com a horizontal.

Mas ainda do exercício temos um dado importante:

FAVert = FBlocos (equilíbrio), mas:

FBlocos = (10 + 20)*10 = 300N

Logo, FAVert = 300N, com isso:

FA*Sen(60°) = FAVert = 300N

FA*√3/2 = 300N

FA = (600/√3)N.

Exercício Resolvido - Força resultante

Um objeto cuja massa é de 5,00 kg é submetido a uma força que o impulsiona para cima. A única outra força agindo no objeto é a força da gravidade. A aceleração líquida do objeto é para cima com uma magnitude de 5,68 m/s². A aceleração da gravidade é de 9,81 m/s². Determine a magnitude da força que impulsiona o corpo para cima, em N. 

Solução:

Neste caso, como a aceleração da gravidade é vencida e além disso, tem uma aceleração resultante de 5,68m/s² para cima, temos que a força aplicada é de:

F = (9,81 + 5,68) * 5 = 77,45N

Leis de Newton, com exemplos

Leis de Newton com exemplos

Lei I:Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele.

Esta lei é chamada de lei da inércia, e diz que todo corpo, ou objeto, tende a permanecer como está, a menos que uma força atue sobre ele.

Ex1.: Quando você deixa uma bicicleta parada por que ela cai? Não deveria, respeitando a 1ª lei de Newton, permanecer parada? Bom, neste caso, a força da gravidade atua nela, e por isso ela cai.

Ex2.: Quando você esta em um carro e ele faz uma curva, você sente uma 'força' empurrando você para 'fora' da curva, não é? Qual o motivo disso? Na verdade a tendência do seu corpo é continuar no movimento que o carro estava fazendo (em linha reta), assim, a impressão que temos é que estamos sendo jogados para fora da curva, quando na verdade apenas queremos continuar andando em linha reta. O que faz com que façamos a curva junto com o carro? A força de atrito do banco sobre nós.

Lei II: A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é imprimida.

Esta é a famosa lei da "Força é má", ou seja, F = m.a

Talvez a lei mais importante e mais brilhante de Newton. Parece bem boba, mas se um dia você fizer uma faculdade de engenharia ou física, vai perceber que esta lei é a base de quase todos os fenômenos físicos. Na verdade, até agora, do que aprendi, de todos.

Ex1.: Veja que a lei fala que a mudança de movimento é na direção da força imprimida. Agora lhe pergunto: Se você pegar um barbante e amarrar em sua extremidade uma pedra e rodar ela. Percebe que a força que atua na pedra é apenas a força de tração do fio (que é a força que você faz segurando-o). Pois bem, você então poderia perguntar: Mas a força de tração do fio é na direção da mão (central ao movimento) e a pedra nunca virá em direção à mão, e sim tenderá a sair para fora. E agora??? Na verdade, neste caso, a força é sempre perpendicular ao movimento e a força de tração do fio muda de direção a cada instante, consegue perceber?

Se você 'der um pause' neste movimento vai perceber que a velocidade da pedra tem uma direção, tangente ao movimento dela e a força de tração é em direção à mão que segura o fio, logo, perpendicular à velocidade. Porém, em um instante imediatamente depois, a velocidade da pedra muda sua direção (consequência da força anteriormente citada), porém, junto com a mudança da direção da velocidade, muda a direção da força aplicada. Assim, na verdade, a pedra muda sua direção na direção da força sim, respeitando a 2ª Lei de Newton, porém o que ocorre é que a cada instante, a força muda sua direção também, junto com a pedra. Por isso ela (a pedra) sempre ficará rodando, e a força será sempre central.

Ex2.: Quando você solta uma massa, o que ocorre com ela? Ela cai, pela ação da gravidade, claro. Logo, inicialmente a pedra estava em repouso, assim, a força gravitacional agiu sobre ela mudando seu movimento na direção desta força, para baixo.

Lei III: A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: ou as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em direções opostas.

Lei importante também, fala que toda ação tem uma reação de MESMA INTENSIDADE em sentido contrário. Ué, mas por que não se anulam?

Claro, porque se eu empurrar uma caixa com uma força num sentido, e você no sentido oposto empurrar com a mesma força, a caixa não se move. Certo?

Então por que neste caso elas não se anulam? O fato é que elas não se anulam pois atuam em corpos diferentes.

Ex1.: O exemplo da caixa, se você não estiver empurrando e caixa no sentido contrário a mim. Eu estarei empurrando-a em uma direção, isso fará com que a caixa me empurre em direção contrária. Logo, uma força atua na caixa (eu empurrando) e outra em mim (reação da caixa). Por atuar em corpos diferentes, esta força de reação não se anula. Mas por que eu consigo empurrar a caixa, ou seja, deslocá-la? Bom, recapitulando, eu empurro a caixa, ela me empurra, por que não vou para trás? Pois há a força de atrito, que me empurra para frente, assim, consigo me manter no mesmo lugar.

Ex2.: Um exemplo simples. Por que conseguimos andar? Na verdade a força de atrito faz com que nos desloquemos, ou seja, nós empurramos o chão para trás e a força de atrito como reação nos empurra para frente.

Exercício Resolvido - Tração

Um macaco de 10 kg está subindo por uma corda de massa desprezível, passando pelo galho de uma arvore e ligada, no outro extremo, a um corpo de massa igual a 15 kg. Com que aceleração mínima o macaco deve subir pela corda de modo a elevar o corpo de 15 kg do chão? Se após o corpo tiver sido elevado, o macaco parar de subir e continuar segurando a corda, qual será agora a aceleração do macaco e a tensão na corda?

Solução:

Considerando que a massa de 15 kg está no chão, se o macaco ficar apenas parado na corda, existe uma força 10*g do seu peso (g é a gravidade) de um lado da corda, menor que a força peso de 15*g do corpo do outro lado. Logo, a corda não se move e o macaco fica parado assim como o sistema todo.

Neste momento, se você analisar apenas o macaco - como ele esta parado - seu peso é igual à tração da corda, pois são as únicas forças que atuam nele, logo a tração da corda é de 10*g. Como a corda é única, esta tração é igual do dois lados. 

Mas se a tração do lado da massa é 10*g e a força peso da massa é 15*g, qual o motivo de ela não se deslocar, já que há uma força resultante (15g - 10g = 5g). Na verdade ela não se move pois há a força normal do chão que ajuda a sustentá-la.

Voltando ao exercício, para que a massa se eleve, a tração da corda deve ser maior que 15*g. Ou seja, o peso do macaco mais 10*a deve ser maior que 15*g

10*g + 10*a > 15*g

10(g+a)>15g

g+a>1,5g

0,5g < a

se g = 9,8m/s²

então a > 4,9 m/s². Perceba que 4,9m/s² é a aceleração mínima. Na verdade com esta aceleração EXATA, o sistema todo fica parado, porém qualquer coisa maior que 4,9 m/s² (4,90000000000000001m/s² por exemplo) já é suficiente para elevar a massa. Por isso dizemos que 4,9m/s² é a aceleração mínima, mesmo na realidade não sendo.

quando o macaco para, não há mais a sua aceleração para cima e a massa não esta mais no chão, logo não existe mais a força normal agindo nela. Neste caso, a massa irá causar uma força de 15*g na corda e como o macaco esta parado e seu peso é de 10*g a corda irá se movimentar no sentido de descer a massa. Assim, pela 2ª Lei de Newton:

Do lado da massa temos o seguinte equilíbrio de forças
15*g - T = 15*a e
Do lado do macaco temos

T - 10*g = 10*a

Logo, somando as duas equações:

15*g - 10*g = 15*a + 10*a

5*g = 25*a

a=g/5

a = 1,96m/s²

Com esta aceleração, substituindo em qualquer uma das equações, obtemos T:

T = 10*a + 10*g = 19,6 + 98 = 117,6 N ou

T = 15*g - 15*a = 15 (g-a) = 15*(9,8 - 1,96) = 15.7,84 = 117,6N (a tração na verdade é 117,6N, aproximadamente 118N, considerando g = 9,8 m/s²)

Exercício Resolvido - Corrente em uma polia

Uma corrente uniforme e flexível de comprimento L (m), pesando λ (kg/m) (onde λ é definido como sendo a densidade linear de massa) passa por uma pequena polia sem atrito e sem massa. Ela é solta de uma posição de repouso com x metros de corrente pendendo de um lado e (L - x) metros de outro lado. Desprezando qualquer efeito de reação da polia que não seja vertical e desconsiderando-se o seu tamanho, responda: a) Sob que condições a corrente se acelerará? b) Admitindo que essas condições são satisfeitas, ache a aceleração em função de x, da gravidade g e do comprimento da corrente L.

Solução:
a) A corrente irá acelerar-se se um dos lados for mais pesado que o outro, ou seja, a força resultante for diferente de zero.

b) Sendo x a parte da corrente do lado direito temos L-x do lado esquerdo.
Então, neste instante inicial, a força do lado direito é a força peso da parte da corrente que esta deste lado, ou seja Md*g, onde Md é a massa da corrente do lado direito. Do lado esquerdo, de forma análoga, temos Me*g.

Mas Md = λ*x, e Me = λ*(L-x)
Estas duas são as únicas forças atuando no sistema, assim, vamos supor que a porção da corrente do lado direito seja maior.
Temos então:
Md*g - Me*g = M*a, onde a é a aceleração do sistema e M a massa total, podemos ainda dizer que
λ*x*g - λ*(L-x)*g = M*a
Mas
M = λ*L
Logo
λ*x*g - λ*(L-x)*g = λ*L*a
Dividindo tudo por λ

x*g - (L-x)*g = L*a
-L*g + 2*x*g = L*a

Assim, a = -g + 2*x*g / L = g*(2x/L - 1)