Fatore as expressões abaixo:
a) a⁴ - 1
b) a⁶ - 1
Solução:
a)
Aplicando fatoração de diferença de quadrados:
a⁴ - 1 = [(a²)² - 1²]
[(a²)² - 1²] = (a² - 1)(a² + 1)
Perceba que a² - 1 é uma diferença de quadrados também.
(a² - 1)(a² + 1) = (a - 1)(a + 1)(a² + 1)
b)
Aplicando diferença de quadrados:
a⁶ - 1 = [(a³)² - 1²]
[(a³)² - 1²] = (a³ - 1)(a³ + 1)
Agora temos a multiplicação de dois polinômios do 3º grau. Sabe-se que, todo polinômio de grau ímpar possui, pelo menos, uma raiz real, ou seja, pode ser fatorado. Para isso devemos achar as raízes dos polinômios:
Raízes de a³ - 1:
a³ - 1 = 0
a³ = 1
a = 1, a = (-1/2) + (√3/2) i (complexa, não interessa) e a = (-1/2) - (√3/2) i (complexa, não interessa)
Logo:
a³ - 1 = (a-1)(a² + A*a + B)
a³ - 1 = a³ + A*a² + B*a - a² - A*a - B
a³ - 1 = a³ + a²*(A - 1) + a*(B - A) - B
Assim:
A - 1 = 0
A = 1
B - A = 0
B = A = 1
Desta forma:
a³ - 1 = (a-1)(a² + a + 1)
Raízes de a³ + 1:
a³ + 1 = 0
a³ = -1
a = -1, a = (1/2) + (√3/2) i e a = (1/2) - (√3/2) i
Assim:
a³ + 1 = (a+1)(a² + A*a + B)
a³ + 1 = a³ + a²*(A + 1) + a*(A + B) + B
A + 1 = 0
A = -1
A + B = 0
B = -A = 1
a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)
Por fim:
a⁶ - 1 = (a³ - 1)(a³ + 1) = (a-1)(a² + a + 1)(a+1)(a² - a + 1)
