Espaço Vetorial: Dimensão e Mudança de base

Definição de dimensão e mudança de base

Nesta publicação será falado sobre:

• Dimensão e;
• Mudança de base.

Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial finitamente gerado é o número de vetores que compõem as bases de um espaço vetorial. Em complemento a isto, existe o Teorema de Invariância que citaremos a seguir:

TEOREMA DA INVARIÂNCIA: Dado um espaço vetorial finitamente gerado E. Então qualquer base deste espaço tem o mesmo número de vetores.

Com o Teorema da Invariância, estabelecemos que dado um espaço vetorial (ou um sub-espaço vetorial) toda e qualquer base deste espaço possui o mesmo número de vetores. Este número chamamos de Dimensão do espaço vetorial.

Alguns exemplos:

• O espaço tridimensional (R³) tem dimensão 3;
• O espaço dos polinômios de grau n tem dimensão n+1;
• O espaço das matrizes de dimensão li x col tem dimensão li*col.

Mudança de base

Seja E um espaço vetorial de dimensão n que tenha A = {a1, a2, ..., an} e B = {b1, b2, ..., bn} como bases diferentes. Então, existe uma única família de escalares αij que possibilite a seguinte combinação linear:

---

PROVA DE QUE A FAMÍLIA DE ESCALARES É ÚNICA:

Supondo que não seja única, então existe uma família αij e uma família βij. Assim:

Porém, como B é uma base, então os vetores b1, b2, ... são Linearmente Independentes (Veja), logo:

---

A matriz formada pelos escalares αij é chamada de matriz de mudança de base, que transforma um vetor escrito na base B para a base A.

Veja também:
Espaço vetorial finitamente gerado, Dependência linear e Base de um espaço vetorial finitamente gerado

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Propriedades de um Espaço Vetorial

O que é um espaço vetorial?


Exemplo:
Seja o espaço vetorial R³, que é finitamente gerado por [(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)] (Veja o que é um espaço finitamente gerado).

Sejam as bases A e B formadas pelos vetores





Assim temos:



De:



Temos:

De onde tiramos que:

De forma análoga temos:

Formando a matriz de transformação do sistema B no sistema A:

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Espaço vetorial finitamente gerado, Dependência linear e Base de um espaço vetorial finitamente gerado

ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO

A forma mais fácil de se entender o que isso significa é através de exemplos. Considere o conjunto dos números reais. Este conjunto é um espaço vetorial sobre ele mesmo (Veja O que é um espaço vetorial) segundo a soma e a multiplicação que conhecemos.

Agora, seja o conjunto S = {1}, onde S $ \subset \, \Re $. É muito fácil perceber que qualquer valor real pode ser obtido através de uma Combinação Linear de {1}.

Exemplo:

$ 4,123904 \, = \, 4,123904 \times 1 $

$ \pi \, = \, \pi \times 1 $

$ \sqrt{2} \, = \, \sqrt{2} \times 1 $

Desta forma, $ \Re $ é um espaço vetorial finitamente gerado onde S gera $ \Re $. Infinitos outros conjuntos podem ser geradores de $ \Re $. O {1} é apenas um exemplo bastante didático para se utilizar, já que fica muito fácil perceber.

Para $ \Re ^2 $ é bastante simples de perceber que S = {(1,0) , (0,1)} é um conjunto gerador, porém S = {(-1,1) , (1,1)} também é um conjuntos gerador de $ \Re ^2 $. Veja:

Exemplo:

$ \left (4,10 \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $

$ \alpha \, = \, 3 , \, \beta \, = \, 7 $

Assim, para qualquer $ \left (a,b \right ) \, \in \, \Re ^2 $ temos que:

$ \left (a,b \right ) \, = \, \alpha \times \left (-1,1 \right ) \, + \, \beta \times \left (1,1 \right ) $

$ \alpha \, = \, \frac{a-b}{2} , \, \beta \, = \, \frac{a+b}{2} $

O que garante que S = {(-1,1) , (1,1)} gera $ \Re ^2 $

Assim, definimos:
Um espaço vetorial V é finitamente gerado quando existe um conjunto S $ \subset $ V, S finito, onde S gera V.

DEPENDÊNCIA LINEAR

Definição: Um conjunto S = { $ u_1 , \, u_2 , \, u_3 , \, ... $ } $ \subset $ V é linearmente independente se, e somente se, a relação $ \alpha _1 u_1 + \alpha _2 u_2 + \alpha _3 u_3 + ... = o , \, \alpha _i \, \in \, \Re $ só existir  para $ \alpha _1 = \alpha _2 = \alpha _3 = ... = 0 $.

Exemplo:
S = {(-1,1) , (1,1)}
$ \alpha _1 \times \left (-1,1 \right ) + \alpha _2 \times \left (1,1 \right ) \, = \, o $
$ - \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0 $
$ \alpha _1 + \alpha _2 \, = \, 0  $

Que só é possível se $ \alpha _1 = \alpha _2 = 0 $. Assim, o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é linearmente independente.

Veja também:
O que é um espaço vetorial
Propriedades de um Espaço Vetorial

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTE GERADO

Um conjunto S $ \subset $ V é uma base de V se:
1 - S gera V e;
2 - S é linearmente independente.

Com essas condições podemos concluir que o conjunto S = {(-1,1) , (1,1)} é uma base de $ \Re ^2 $.
Podemos perceber também que S = {1} é uma base de $ \Re $ e S = {(1,0) , (0,1)} é outra base de $ \Re ^2 $.

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

Sub-espaço Vetorial

Definição: Dado um espaço vetorial $ V $ sobre $ \Re $, um sub-espaço vetorial de $ V $ é um conjunto $ W \,  \subset \, V $, que apresenta as seguintes propriedades:
a) $ o \, \in \, W $

b) $ \forall u, \, v \, \in \, W, \, u \, + \, v \, \in \, W $
c) $ \forall \alpha \, \in \, \Re $ e $ \forall u \, \in \, W, \, \alpha u \, \in \, W $

Com estas propriedades é possível verificar a Proposição I abaixo:

Proposição I - Se $ W $ é um sub-espaço vetorial de $ V $, então $ W $ também é um espaço vetorial sobre $ \Re $.

A prova deve ser feita verificando os oito itens que definem um Espaço Vetorial (Veja O que é um Espaço Vetorial)

Faremos alguns, apenas para demonstrar:
I-a)
Este item é praticamente direto, já que todo elemento de $ W $ é também elemento de $ V $, já que $ W \, \subset \, V $, assim, sejam $ u, \, v \, \in \, W $, temos que $ u, \, v \, \in \, V $, logo certamente $ u \, + \, v \, = \, v \, + \, u $, já que $ V $ é um espaço vetorial.

I-d)
Para mostrar que um sub-espaço satisfaz este item, basta usar a definição c) acima e fazer $ \alpha \, = \, -1 $. Com isso mostramos que no sub-espaço $ W $ possui o elemento oposto.

Combinação Linear

Adotando $ V $ um espaço vetorial. Sejam $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $ elementos de $ V $. Seja o conjunto de elementos formados da seguinte forma:
$$ \left [ L \right ] \, = \,  \left \{ \alpha_1 v_1 \, + \, \alpha_2 v_2 \, + \, \alpha_3 v_3 \, + \,  ... \, + \, \alpha_n u_n \, | \, \alpha_1, \, ... \, , \alpha_n \, \in \, \Re \right \} $$

É possível mostrar que [L] é um sub-espaço vetorial:
a) Basta fazer todos os $ \alpha \, = \, 0 $

b) Se $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \, e \, w \, = \,  \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + ... $ pertencem a [L].
Então:
$ v \, + \, w \, = \, ( \alpha_1 \, + \, \beta_1) v_1 \, + \, ( \alpha_2 \, + \, \beta_2) v_2 \, + \, ... $ também pertence, pois $ \left ( \alpha_n \, + \, \beta_n \right ) \, \in \, \Re, \, \forall n $

c) Seja $ v \, = \, \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... $
então
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \left ( \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... \right ) $
$ \alpha v \, = \, \alpha \times \alpha_1 v_1 + \alpha \times \alpha_2 v_2 + ...  $
Mas como $ \alpha $ e $ \alpha_n $ são números reais, então $ \alpha \times \alpha_n $ também será, o que garante que, para qualquer $ \alpha \, \in \, \Re $ e para qualquer $ v \, \in \, [L], \, \alpha \times v \, \in [L] $

Assim:
Cada elemento do sub-espaço [L] que acabamos de definir é uma combinação linear dos elementos $ \left \{ v_1, \, v_2, \, v_3, \, ..., \, v_n \right \} $

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Propriedades de um Espaço Vetorial

Após definir o que é um espaço vetorial, algumas propriedades podem ser observadas de forma quase imediata. A seguir veremos algumas delas:

Propriedade I: $\forall \alpha \, \in \, \Re, \, \alpha o \, = \, o$
Propriedade II: $\forall u \, \in \, V, \, u0 \, = \, 0$

Propriedade III: Se $\alpha u \, = \, o$ para $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, então ou $\alpha \, = \, 0!$ ou $u \, = \, o$
Propriedade IV: $\forall \alpha \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (-\alpha) u \, = \, \alpha (-u) \, = \, -(\alpha u)$
Propriedade V: $\forall \alpha \, \beta \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (\alpha \, - \, \beta)u = \alpha u \, - \, \beta u$

O que é um Espaço Vetorial

Exemplo:
Prove a Propriedade I:
Das definições de Espaço Vetorial II-c e I-c, temos que:
$\alpha o \, = \, \alpha (o \, + \, o) \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$
Seja a igualdade $\alpha o \, = \, \alpha o$
Somando $- \alpha o$ de ambos os lados da igualdade temos:
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \,$
Aplicando o que foi mostrado acima, onde $\alpha 0 \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$ temos
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \, + \, \alpha o \, = \, \alpha o$
Ou seja:
$o \, = \, \alpha o$

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

       

O que é um espaço vetorial?

Definição de um espaço vetorial

Definição: Um conjunto $V\, \neq \, \emptyset$ é um espaço vetorial sobre $ \Re $ se, e somente se, satisfizer as seguintes condições:

I - Existir uma adição em $V$ com as seguintes propriedades:

a) $u\, +\, v\, = \, v\, + \, u, \, \forall u , \, v \, \in \, V$

b) $u \, + \, (v \, + \, w) \, = \, (u \, + \, v) \, + \, w, \forall u, \, v , \, w \in \, V$

c) Existe em $V$ um elemento neutro para essa adição, simbolizado por $o$, onde:

$$u \, + \, o \, = \, u, \forall \, u \, \in \, V$$

d) Para todo elemento $u$ de $V$, existe seu oposto onde:

$$u \, + \, (-u) \, = \, o$$

II - Existir uma multiplicação $\Re \times V$ em $V$, ou seja, para todo par ($\alpha, u$) onde $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, existe um, e apenas um elemento $v$ de $V$ tal que $\alpha \times u \, = \, v$, e para essa multiplicação tem-se, $ \forall \, \alpha, \, \beta \, \in \, \Re$:

a) $\alpha ( \beta u) \, = \, (\alpha \beta)u$

b) $(\alpha \, + \, \beta)u \, = \, \alpha u \, + \, \beta u$

c) $\alpha ( u \, + \, v) \, = \, \alpha u \, + \, \alpha v$

d) $1u \, = \, u$

Veja também:
Propriedades de um Espaço Vetorial
Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear
Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

Portanto, qualquer que seja a "soma" e a "multiplicação" definidas em um conjunto tais que satisfaçam as condições acima, teremos que o conjunto é um espaço vetorial segundo esta soma e esta multiplicação.

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

Exercício Resolvido - Base de um espaço vetorial: Independência linear

Seja E(u,v,x) uma base e F(a,b,c) tal que u = 2a + 2b, v = 2a - b, w = a + b - 5c. Prove que F é base.

Solução:

Primeiro, precisamos saber o que é uma base?

Sem muitos critérios matemáticos, um conjunto de vetores B é chamado de base de um espaço vetorial E se, a partir da combinação linear dos vetores que formam B pudermos formar qualquer vetor do espaço E e se os vetores que formam B forem linearmente independentes.

Além disso, temos que qualquer base de um espaço vetorial tem o número de vetores iguais à dimensão deste espaço.

Por exemplo:

Uma base para o conjunto dos reais (R¹) pode ser o número 1, pois a partir dele podemos formar qualquer número real multiplicando 1 por um coeficiente a1 real. -> 5,4 = 5,4*1

Uma base para o conjunto R² pode ser B = {(1,0) , (0,1)}, pois a partir destes vetores podemos formar qualquer vetor do espaço R² multiplicando pelos coeficientes reais a1 e a2. -> (2,7) = 2*(1,0) + 7*(0,1)

Nestes dois casos temos que R¹ tem dimensão 1, e R² tem dimensão 2.

Neste caso, o primeiro critério é claramente satisfeito por F, já que F tem 3 vetores, são eles:

'a', 'b' e 'c'.

O que resta saber é se 'a', 'b' e 'c' são linearmente independentes.

Aqui, precisamos saber o que é ser Linearmente Independente.

Um conjunto de vetores (v1,v2,v3,...,vn) é linearmente independente se para quaisquer coeficientes reais (a1,a2,a3,...,an), não todos nulo, temos:

a1*v1 + a2*v2 + a3*v3 + ... + an*vn ≠ 0

Agora podemos voltar ao exercício.

Do exercício temos que E(u,v,w) é uma base.

Sabendo que:

u = 2a + 2b

v = 2a - b

w = a + b - 5c

Assim, manipulando temos:

a = u/2 -b

a = (v+b)/2

a = w - b + 5c

Veja também:

O que é um espaço vetorial?
Propriedades de um Espaço Vetorial

Sub-espaço Vetorial e Combinação Linear

u - 2b = v + b

b = (u - v)/3

a = u/2 - u/3 + v/3

a = (u + 2v)/6

c = (a + b - w)/5

c = [(u + 2v)/6 + (u - v)/3 - w]/5

c = (u/2 - w)/5

Se F não é um espaço vetorial:

a1*a + a2*b + a3*c = 0, para algum valor de a1, a2, a3 reais desde que não sejam todos nulos. Porém, se a única solução é a de serem todos nulos, então F é um espaço vetorial.

a1*(u + 2v)/6 + a2*(u - v)/3 + a3*(u/2 - w)/5 = 0

u*(a1/6 + a2/3 + a3/10) + v*(a1/3 - a2/3) - w*(a3/5) = 0

Para isso ser verdade, como (u,v,w) são Linearmente Independentes, esta igualdade só é válida se:

a1/6 + a2/3 + a3/10 = 0

a1/3 - a2/3 = 0, desta equação temos que a1 = a2.

a3/5 = 0, desta temos que a3 = 0

Substituindo os resultados na primeira equação temos:

a1/6 + a1/3 = 0

O que só é válido se a1 = 0.

Logo, a equação a1*a + a2*b + a3*c = 0 só é verdade se a1 = a2 = a3 = 0. Logo, F é Linearmente Independente e portanto uma base.