Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela intersecção das superfícies:

No ponto P de coordenadas

Solução:

A primeira superfície é mais simples de perceber que é um cilindro. A segunda é um paraboloide. As superfícies podem ser vistas, separadas, abaixo:

Colocando elas juntas, temos:

Cálculo da curva da intersecção das superfícies:

Se há intersecção, então os valores de x, y e z devem ser iguais nas duas superfícies. A primeira superfície pode ser parametrizada da seguinte forma:

Porém, das Relações Trigonométricas temos que Sen²(a) + Cos²(a) = 1. Assim:

Podendo ser feita a igualdade:

A equação paramétrica fica:

Como z pode assumir qualquer valor pois não é dependente de x nem de y na primeira superfície, então sua forma parametrizada pode ser z = z. Ficando, portanto:

A outra superfície tem equação z = x² + y²
Assim, a curva de intersecção das superfícies na sua forma parametrizada é:

Ou seja, a curva é uma circunferência de raio 2 na altura z = 4. Veja na figura abaixo a curva em cor vermelha:

O que o exercício pede é a reta tangente à curva de intersecção no ponto P.
Esta reta terá equação do tipo

Onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. Porém, como ela é tangente no ponto P então o coeficiente angular da reta deve ser a derivada de y em relação a x. A derivada pode ser calculada por:

Mas, no ponto P temos que:


Logo:



Assim,



Com isso, já é possível determinar a equação da reta:



Como ela passa pelo ponto P:



A equação da reta fica:



A parametrização pode ser feita da seguinte forma:



Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Abaixo a figura com o ponto P em verde e em preto, a reta tangente:

Aproximando um pouco mais:

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Ponto, Reta e Circunferência no plano.

Sejam A(-7,4) e B (5,-12) pontos no plano.

a)Encontre a inclinação da reta que contém A e B

b)Encontre uma equação da reta que passa por A e B.Quais as intersecções com os eixos ?.

c)Encontre o ponto médio do segmento AB.

d)Encontre o comprimento do segmento AB.

e)Encontre uma equação para a mediatriz de AB.

f)Encontre uma equação para a circunferência para o qual AB é um diâmetro.

Solução:

a) A inclinação da reta é dada pelo ângulo formado entre a reta e o eixo das abcissas (eixo x). Assim, temos que pensar na reta como um triângulo retângulo. Veja a figura a seguir:

Na figura acima, temos a reta que passa pelos pontos A e B e o triângulo retângulo que comentei anteriormente, formado pelos pontos A, B e C. Observe que o segmento de reta AC é paralelo ao eixo x e portanto, o ângulo formado pela reta e o eixo x é o mesmo formado pela reta e o segmento AC.

Porém, perceba que a reta é decrescente, ou seja, quanto maior o valor de x, menor o de y na reta. Assim, a inclinação é um ângulo no intervalo 90° < inclinação < 180°.

Bom, do desenho acima podemos perceber que o ângulo CÂB somado ao ângulo de inclinação da reta é 180°.

Assim, das propriedades trigonométricas temos:

tg(a + b) = (tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)*tg(b))

Como, neste caso, a + b = 180° e sabendo que Tg(180°) = 0

(tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a)*tg(b)) = 0

tg(a) + tg(b) = 0

tg(a) = -tg(b)

Assim, a tangente do ângulo CÂB é a mesma tangente do ângulo de inclinação da reta, porém com sinal trocado.

Podemos perceber que a tangente do ângulo CÂB é dada por:

tg(a) = BC/CA

Onde:

CA = 5 - (-7) = 12

BC = 4 - (-12) = 16

tg(a) = 16/12 = 4/3

Logo, o ângulo CÂB = ArcTg(4/3) = 53,13°

Assim, como:

CÂB + inclinação = 180°

Inclinação = 180° - 53,13° = 126,87°

b) A equação da reta pode ser obtida de forma mais simples. Temos que toda equação de reta num plano é da forma:

y = a*x + b

Como temos dois pontos que definem essa reta:

A(-7,4) e B(5,-12), então

4 = a*(-7) + b (Ponto A)

-12 = a*(5) + b (Ponto B)

Das equações acima, temos que:

a = -4/3

b = -16/3

Assim, a equação da reta é:

y = (-4/3)*x - 16/3

c) Para obter o ponto médio de um segmento, basta somar os pontos que limitam este segmento e dividir por dois, neste caso:

A = (-7,4)

B = (5,-12)

(A+B)/2 = ( -7 + 5 , -12 + 4) / 2 = (-2/2 , -8/2) = (-1,-4)

M = (-1,-4)

Na figura a seguir é possível verificar o ponto médio em vermelho:

d) Para o cálculo do comprimento AB vamos voltar ao triângulo retângulo que foi utilizado no exercício a). Vimos que podemos formar um triângulo retângulo, formado pelos pontos ABCA. Neste caso, o segmento AB é a hipotenusa do triângulo, com isso, como já calculamos o valor dos segmentos CA e BC no item a), temos:

AB² = CA² + BC²

AB² = 12² + 16²

AB² = 400

AB = 20.

Outro método mais direto de calcular este valor é com base nos pontos dados, veja como:

AB² = [ 5 - (-7) ]² + [ 4 - (-12) ]²

Onde cada um desses valores são as coordenadas dos pontos A e B. Com isso teremos que AB = 20, como calculado anteriormente.

e) Mediatriz é o conjunto de pontos que são equidistantes a dois pontos determinados. Neste caos é o conjunto de pontos equidistantes aos pontos A e B.

Assim, seja um ponto D(x,y) equidistante a A e B, desta forma, a distância de D para A é dada por:

dist(DA)² = [ x - (-7) ] ² + [ y - 4 ]² = x² + 14x + 49 + y² - 8y + 16

dist(DB)² = [ x - 5 ]² + [ y - (-12) ]² = x² - 10x + 25 + y² + 24 + 144

Como as distância devem ser iguais:

x² + 14x + 49 + y² - 8y + 16 = x² - 10x + 25 + y² + 24y + 144

Simplificando temos os termos iguais:

14x + 49 - 8y + 16 = -10x + 25 + 24y + 144

24x + 65 = 32y + 169

32y = 24x - 104

4y = 3x - 13

y = (3/4)x - 13/4
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Veja também:

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

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Podemos concluir que a mediatriz de dois pontos é uma reta, dada a equação obtida acima.

f) Se AB é um diâmetro do círculo, então o ponto médio de AB é o centro da circunferência. Como já temos todos estes dados, calculados anteriormente, sabemos que o comprimento AB = 20, logo o raio da circunferência é de 10. Como o centro dessa circunferência é (-1,-4) a equação é dada por:

[ x - (-1) ]² + [ y - (-4) ]² = 10²

[ x + 1 ]² + [ y + 4 ]² = 10²

Perceba que além do segmento AB, a mediatriz também passa pelo centro desta circunferência e portanto um segmento seu forma um diâmetro desta circunferência.

Aula e exercício de reta e circunferência no plano

Equação da reta e da circunferência no plano

Veja também:
Aula de geometria analítica - Equação da reta7

Exercício parte 1

Exercício parte 2

Aula de geometria analítica - Equação da reta

Nesta aula mostro como obter as equações nas formas:

Vetorial, paramétrica e simétrica de uma reta no espaço.

No plano o raciocínio é o mesmo porém mais simples, já que não existe a coordenada z.

Exercício resolvido - Geometria Analítica (reta e ponto)

Dado o ponto P(2,-1) e a reta de equação y=3x-5, escreva uma equação da reta que contém o ponto P e
a) seja paralela a reta r.
b) seja perpendicular a reta r.


Solução:
a) Uma reta paralela é aquela que tem o mesmo coeficiente angular. Logo, a reta tem a forma:
y = 3x + b

Mas ela passa por P(2,-1)
-1 = 3.2 + b
b = -7

Logo, a reta é:
y = 3x - 7

b) Para ser perpendicular, o produto dos coeficientes angulares das retas deve ser -1. Logo a reta tem a forma:

y = (-1/3)x + b

Mas ela passa por P(2,-1)
-1 = (-1/3).2 + b
b = -1/3

Logo, a reta é:
y = (-1/3)x - 1/3

Exercícios Resolvidos - Geometria analítica

Dado um triângulo cujos vértices são A(1,1), B(4,0) e C(3,4), determine:

a) O pé da altura relativa ao vértice C.
b) A área do triângulo ABC.

Solução:

a)

Para determinar este ponto, devemos encontrar a reta que passa por C e é perpendicular à reta AB, pois a altura relativa a algum vértice de um triângulo é, por definição, a reta que passa por esse ponto e é perpendicular à reta que une os outros dois vértices.

Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas, que calcular o coeficiente angular da reta AB:

Como AB passa por A(1,1), temos:

y = ax + b

a + b = 1


Como passa por B(4,0), temos:

y = ax + b

0 = 4a + b

Mas

a + b = 1

0 = 3a + (a+b)

0 = 3a + 1

a = -1/3

b = 4/3

Coeficiente angula da reta AB: -1/3

Logo, coeficiente angular da reta altura é: 3

Assim, ela tem a forma:

y = 3x + b

Mas essa reta deve passar pelo ponto C (3,4)

4 = 3*3 + b

b = 4 - 9 = -5

Logo, a reta é:

y = 3x - 5

O pé dessa altura é o ponto que as retas AB e a reta altura se interceptam:

Reta AB:

y = (-1/3)x + 4/3

Reta altura:

y = 3x - 5

Igualando ambas:

3x - 5 = (-1/3)x + 4/3

(10/3)x = 19/3

x = (19/10) = 1,9

y = 3*(19/10) - 5

y = 5,7 - 5 = 0,7


Ponto P = (1,9 , 0,7)

b) Sabendo que a altura deste triângulo vai do ponto P(1,9 , 0,7) ao ponto C(3,4), a distância 'd' entre esses pontos será o valor desta altura:

h² = (3, 1.9)² + (4 - 0,7)²

h² = 1,1² + 3,3²

h² = 1,21 + 10,89 = 12,1

h = 3,479

O tamanho da base, é a distância do ponto A ao ponto B.

d² = (4 - 1)² + (0 - 1)²

d² = 3² + 1² = 10

d = 3,1623

A área será:



A área ainda pode ser calculada pelo determinante da matriz:



Onde a primeira coluna são as coordenadas x dos vértices, e a segunda coluna as coordenadas y.

Exercício Resolvido - Circunferência e distância de pontos

Sejam A(-4,0) e B(0,8) pontos externos do diâmetro da circunferência de centro no ponto C. A reta que passa por C é perpendicular ao diâmetro AB intercepta o eixo das abcissas no ponto P.Qual a distancia entre os pontos B e P?
a)5
b)6
c)7
d)9
e)10

Solução:
Como temos os pontos A e B diametralmente opostos, a distância entre eles é o valor do diâmetro dessa circunferência.
A distância 'd' entre eles é dada por:

d² = (-4 - 0)² + (0 - 8)² = 16 + 64 = 80
d = 4√5

Assim, o raio dessa circunferência é 2√5 e o raio ao quadrado será 20.
Como a equação geral de uma circunferência é:

(x - xo)² + (y - yo)² = r²

Onde xo e yo são as coordenadas do centro e x e y são as coordenadas dos pontos pertencentes à circunferência, temos:

Para o ponto A:

(-4 - xo)² + (0 - yo)² = 20

16 + 8xo + xo² + yo² = 20

Para o ponto B

(0 - xo)² + (8 - yo)² = 20

xo² + 64 - 16yo + yo² = 20

Assim, como ambos são iguais a 20:

16 + 8xo + xo² + yo² = xo² + 64 - 16yo + yo²

8xo +16yo = 48

Dividindo tudo por 8 para simplificar

xo + 2yo = 6

xo = 6 - 2yo

Substituindo este valor nas equações acima:

xo² + 64 - 16yo + yo² = 20

(6 - 2yo)² + 64 - 16yo + yo² = 20

36 - 24yo + 4yo² + 64 - 16yo + yo² = 20

5yo² - 40yo + 80 = 0

Dividindo tudo por 5 para simplificar

yo² - 8yo + 16 = 0

Aplicando Bhaskara temos:

yo = 4
Logo:

xo = -2

Assim, as coordenadas do ponto central são (-2,4)

Equação da reta que passa por A e B:

No ponto A (-4,0), x = -4 e y = 0

Como a equação de uma reta é do tipo y = ax + b

0 = -4a + b

No ponto B (0,8), x = 0, y = 8

8 = 0*a + b

b = 8

a = 2

y = 2x + 8

O coeficiente angular dessa reta é 2, logo o da reta perpendicular a essa, terá coeficiente angular de -1/2, já que o coeficiente angular de retas perpendiculares possuem sinal contrário e um é o inverso do outro. Mas queremos que essa reta passe por C (-2, 4)

Para essa reta, a equação é do tipo:

y = (-1/2)x + b

Mas passa por C (-2, 4), onde x = -2 e y = 4

4 = (-1/2)*(-2) + b

4 = 1 + b

b = 3

A equação é:

y = (-1/2)x + 3

Esta reta corta o eixo das abcissas (eixo x) quando y = 0. Logo:

0 = (-1/2)x + 3

x = 6

Ponto P = (6,0)

A distância entre os pontos P (6,0) e B (0,8) é:

d² = (6-0)² + (0-8)²

d² = 36 + 64

d² = 100

d = 10

Letra e)

Abaixo o que aconteceu nesse exercício:

Em laranja, a distância 'd' entre os pontos P e B;

Em azul a circunferência;

Em preto, a reta y = 2x + 8 que passa por A e B;

Em cinza, a reta y = (-1/2)x + 3 perpendicular à que passa por A e B passando pelo ponto C e;

Em vermelho, os pontos A, B, C e P.

Exercício resolvido - Geometria analítica em 3 dimensões

Encontre o ponto de intersecção do plano 2x-y-3z-4 = 0 com a reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem a direção do vetor (1,-2,1).

Solução:

A reta que passa pelo ponto (0,1,-1) e tem direção do vetor (1, -2, 1) é dada pela equação:

(x,y,z) = (Ponto) + a*(Vetor)

(x,y,z) = (0, 1, -1) + a*(1, -2, 1)

x = a

y = 1 - 2a

z = -1 + a

Substituindo esses valores de x, y e z no plano temos:

2(a) - (1-2a) - 3(-1 + a) - 4 = 0

2a - 1 + 2a + 3 - 3a - 4 = 0

4a - 3a - 5 + 3 = 0

a - 2 = 0

a = 2

Para a = 2:

x = 2

y = -3

z = 1

Logo, o ponto de intersecção da reta com o plano é (2, -3, 1)