Exercício Resolvido - Reta tangente à intersecção de superfícies

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela intersecção das superfícies:

No ponto P de coordenadas

Solução:

A primeira superfície é mais simples de perceber que é um cilindro. A segunda é um paraboloide. As superfícies podem ser vistas, separadas, abaixo:

Colocando elas juntas, temos:

Cálculo da curva da intersecção das superfícies:

Se há intersecção, então os valores de x, y e z devem ser iguais nas duas superfícies. A primeira superfície pode ser parametrizada da seguinte forma:

Porém, das Relações Trigonométricas temos que Sen²(a) + Cos²(a) = 1. Assim:

Podendo ser feita a igualdade:

A equação paramétrica fica:

Como z pode assumir qualquer valor pois não é dependente de x nem de y na primeira superfície, então sua forma parametrizada pode ser z = z. Ficando, portanto:

A outra superfície tem equação z = x² + y²
Assim, a curva de intersecção das superfícies na sua forma parametrizada é:

Ou seja, a curva é uma circunferência de raio 2 na altura z = 4. Veja na figura abaixo a curva em cor vermelha:

O que o exercício pede é a reta tangente à curva de intersecção no ponto P.
Esta reta terá equação do tipo

Onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. Porém, como ela é tangente no ponto P então o coeficiente angular da reta deve ser a derivada de y em relação a x. A derivada pode ser calculada por:

Mas, no ponto P temos que:


Logo:



Assim,



Com isso, já é possível determinar a equação da reta:



Como ela passa pelo ponto P:



A equação da reta fica:



A parametrização pode ser feita da seguinte forma:



Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Abaixo a figura com o ponto P em verde e em preto, a reta tangente:

Aproximando um pouco mais:

Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse

Determine a equação da reta tangente à elipse de equações paramétricas:

x = 4*Cos(t)

y = 3*Sen(t)

no ponto correspondente ao valor paramétrico t = π/4. Identifique os vértices e os focos da elipse. Represente graficamente, num mesmo plano, a elipse e a reta tangente.

Solução:

Se a reta é tangente à elipse no ponto para t = π/4 então, a reta deve passar pelo ponto da elipse onde t = π/4 e a derivada da reta (inclinação) deve ser a mesma da derivada da elipse neste mesmo ponto.

Neste caso, temos que para t = π/4:

x = 4*Cos(π/4) = 2*√2

y = 3*Sen(π/4) = 1,5*√2

A derivada da elipse é facilmente calculada derivando a equação paramétrica com relação a t

x' = -4*Sen(t)

y' = 3*Cos(t)

Para t = π/4:

x' = -2*√2

y' = 1,5*√2

Assim:

dy/dx = y'/x' = -0,75

e esta é a inclinação da elipse e portanto da reta neste ponto.

Assim, a reta é dada por:

y = -0,75*x + b

Mas esta reta passa pelo ponto (2*√2 , 1,5*√2)

Assim:

1,5*√2 = -0,75*(2*√2) + b

b = 3*√2

A reta será:

y = -0,75*x + 3*√2

Os vértices da elipse podem ser determinados facilmente com a equação dela já que o centro desta elipse é o ponto (0,0). Com isso, os vértices encontram-se sobre os eixos, no caso, para os seguintes valores de t:

t = 0

t = π/2

t = π

t = 3π/2

Nestes valores de t, temos os seguintes pontos:

t = 0

x = 4, y = 0

t = π/2

x = 0, y = 3

t = π

x = -4, y = 0

t = 3π/2

x = 0, y = -3

Os focos podem ser determinados já que conhecemos os vértices. Como os vértices são dados por (±4,0) e (0,±3), temos que:

f² = 4² - 3² = 7

f = (±√7,0)