Exercício Resolvido - Eletrostática

Duas cargas, q e -q, são mantidas fixas a uma distância d uma da outra. Uma terceira carga q0 é colocada no ponto médio entre as duas primeiras. Nessa situação, o módulo da força eletrostática resultante sobre a carga q0 vale Fa.

A carga q0 é, então, afastada dessa posição ao longo da mediatriz entre as duas outras até atingir o ponto P, onde é fixada. Nesse ponto, as três cargas estão nos vértices de um triângulo equilátero. Nessa situação, o módulo da força eletrostática resultante sobre a carga q0 vale Fb.

Calcule a razão Fa/Fb.

Solução

Do exercício, o que está ocorrendo é:

O módulo da força que atua em q0 é constante, ou seja, se q0 for positiva ou negativa, o que irá mudar é apenas a direção da força, mas a intensidade será a mesma e igual a soma das forças que as cargas q e -q causam nela:

Força que a carga q causa em q0:

F = (K*q*q0) / (d/2)²

Força que a carga -q causa em q0:

F = (K*q*q0) / (d/2)²

A força resultante é a soma das duas, pois elas tem mesma direção onde uma das cargas q atrai e a outra repele a carga q0, independentemente do sinal da carga q0, logo:

Fa = 2*F = 2*(K*q*q0) / (d/2)²

Agora o segundo caso:

O que se pode perceber é que a força que -q causa em q0 tem a direção da reta que os une, e a força que q causa em q0, da mesma forma, tem a direção da reta que os une. Porém, supondo que q0 é positiva (se for negativa, vai dar a mesma coisa, só o que muda é a direção da força) a força que -q causa é de atração e a força que q causa é de repulsão, assim, calculamos estas duas forças e fazemos a soma vetorial.

Vamos lá, cálculo da força que q causa em q0:

F = (K*q*q0)/ d²

Cálculo da força -q em q0

F = (K*q*q0)/d²

Deu igual, o que era de se esperar pois ambas têm mesma distância. Agora devemos fazer a soma vetorial destas forças:

Como o ângulo de um triângulo equilátero é 60º

A força que q causa em q0 pode ser decomposta em:

F*cos(60º) na direção x

F*sen(60º) na direção y

E a força que -q causa em q0 pode ser decomposta em:

F*cos(60º) na direção x

-F*sen(60º) na direção y

Fb = F*cos(60º) + F*cos(60º) na direção x e

Fb = F*sen(60º) + (-F*sen(60º)) = 0 na direção y.

Assim, Fb = 2*(K*q*q0)*cos(60º) / d²

Como cos(60º) = 1/2

Fb = K*q*q0 / d²

Fa/Fb = [2*(K*q*q0) / (d/2)²] / [K*q*q0 / d²] = [2/(d²/4)] / [1/d²]

Fa/Fb = [8/d²] / [1/d²] = 8

Logo, 8 é a resposta