Força de Euler, Einstein, Coriolis e Centrífuga: Referencial não inercial.

Demonstração das forças que atuam em uma partícula ligada a um referencial não inercial: Força de Euler, de Einsteins, de Coriolis e Centrífuga (centrípeta).

Demonstre todas as possíveis forças que atuam em uma partícula em um referencial não inercial.

Solução:

Por motivos didáticos e para simplificar o post, a demonstração será feita em duas dimensões, porém o resultado pode ser estendido para um caso tridimensional. Isso irá facilitar bastante a visualização.

Veja o desenho abaixo que representa um referencial fixo (inercial, em preto) formado pelos eixos x, y e z, onde z esta saindo da tela em direção ao leitor. Em azul esta o referencial não inercial e o ponto P onde queremos calcular as forças. Seria algo como um avião, onde o ponto P é uma pessoa dentro deste avião. Assim, definimos as coordenadas deste ponto em relação a um referencial no avião, porém como este avião faz curvas e acelera este referencial é não inercial.

Obs.: Vale salientar que o tamanho dos eixos (x,y) estão diferentes dos eixos (xn, yn) mas todos eles têm módulo unitário. Na figura, x e y representam a direção onde aponta os vetores unitário x e y.

Do que se pode ver da figura, temos o vetor posição do ponto P descrito como:

r = R + rn

Porém, o vetor R possui suas coordenadas escritas no referencial inercial (x,y,z), mas o vetor rn não. As coordenadas de rn estão descritas no referencial (xn, yn, zn). Assim, podemos escrever os vetores R e rn segundo seus versores:

Assim, temos definida a posição do ponto P, que é dada pelo vetor r.

Para obter a velocidade do ponto P, basta derivar em relação ao tempo o vetor r. Neste caso, é importante perceber que os versores inerciais (x,y,z) não se alteram, porém os não inerciais mudam com o tempo. Ainda, como estabelecemos que o movimento será bidimensional, então o sistema não inercial poderá rotacionar apenas em torno do eixo zn, ou seja, existe uma velocidade angular ω na direção zn. Esta velocidade angular irá alterar o ângulo formado entre os sistemas de referência. Veja na figura a seguir:

Nesta última figura fica fácil perceber algumas coisas importantes:

Voltando ao resultado do vetor r que obtivemos anteriormente:

Derivando no tempo temos:

Porém, como os eixos x e y são constantes, suas derivadas serão nulas o que elimina o termo na qual eles estão multiplicando. O mesmo ocorre para os eixos z e zn, já que estamos considerando que o movimento é bidimensional, neste caso eles não alteram suas direções, mantendo-se constante. Isso ocorre pois toda rotação se da nas direções z (ou zn, já que eles têm mesmo direção e sentido). Neste caso temos:

Definindo algumas simplificações:

Onde V seria a velocidade com que a origem do referencial não inercial se afasta da origem do referencial inercial.

Onde vn seria a velocidade do ponto P em relação ao referencial não inercial.

Restou o termo:

Para isso, precisamos derivar os versores do referencial não inercial:

Mas, vejam que feliz coincidência. Observando as relações obtidas antes, temos que:

Fazendo o mesmo para o dyn/dt chegamos que:

Assim:

Porém, como yn = zn × xn e xn = -zn × yn, onde × é o produto vetorial e, ainda, sabendo que a velocidade angular tem direção zn, temos:

Desta forma:

Para obtenção das acelerações, basta que derivemos mais uma vez:

Mas, de forma similar obtemos que:

Que seria a aceleração com que o referencial não inercial se afasta do referencial inercial.

onde, já foi mostrado que:

Assim:

Que pode ser escrito como:

Multiplicando pela massa todos os termos, temos a força que age no corpo, assim teremos:

Mudando para força (F):

Podendo ser escrito da seguinte forma:

Perceba que se o referencial fosse inercial, o lado esquerdo da igualdade deveria ser nulo segundo a 2ª Lei de Newton. Isolando a força Fn temos a 2ª Lei de Newton para um referencial não inercial e podemos "nomear" cada uma das forças (que na verdade são pseudo forças, pois são reações aparentes que uma partícula sente num referencial não inercial) que ficam do lado direito da igualdade, segundo cada um dos físicos que às descobriram:

Veja que todas elas têm sinal '-' pois representam "reações". A seguir alguns comentários com relação a essas forças.

A pseudo força Centrífuga é facilmente percebida quado estamos num carro, por exemplo, e ele faz uma curva. Neste caso, há uma tendência de sermos empurrados para fora do carro (ou para fora da curva). Esta tendência é a reação da força centrípeta, que age no carro puxando-o para dentro.

A pseudo força de Euler ocorre quando há variação da velocidade angular. Ela tem direção oposta à variação da velocidade angular. Imagine um disco girando e você sobre ele em pé e imóvel. Se a velocidade angular for constante irá agir a força centrípeta na direção radial, porém se a velocidade angular começar a aumentar, é possível que você se desequilibre e caia para trás ou para frente (dependendo se a velocidade angular aumenta ou diminui). Esta é a pseudo força de Euler. Note que não houve ação de força nenhuma mas sim um torque que fez com que o disco girasse mais rápido, assim a aceleração angular fez aumentar a velocidade tangente no ponto em que você estava em pé e com isso, aumentou-se a força de atrito entre você e o disco. Surgiu uma força, portanto, devido ao aumento da velocidade angular. A reação a esta força é a pseudo força de Euler. 

A pseudo força de Coriolis é percebida, por exemplo, na brincadeira em que um pessoa, sentada em uma cadeira, gira com os braços abertos. Em determinado momento, ao puxar os braços em direção ao corpo sua velocidade de rotação aumenta. Para um observador que vê de fora o que esta ocorrendo, nada se altera o que ocorre é apenas a conservação do momento angular. Porém a pessoa sentada na cadeira sente que, ao puxar seus braços em direção ao corpo estes tendem a girar mais rápido, já que sua distância em relação ao eixo de rotação esta diminuindo. Desta forma, esta pessoa precisa fazer uma força "segurando seu braço" para que ele não gire mais rápido. Assim, todo o corpo irá aumentar sua velocidade angular. Neste caso, a pessoa sentada sente como se uma força fizesse acelerar sua rotação. Esta é a ação da pseudo força de Couriolis.

A pseudo força de Einstein  é uma reação ao movimento de translação do corpo e ela é constantemente percebida por nós. Por exemplo, quando um avião vai decolar e somos "empurrados" para trás. Outro exemplo interessante é o de um bloco sobre um plano inclinado. Se não houver atrito este bloco vai escorregar para baixo. Porém, se este plano inclinado for acelerado esta aceleração irá "agir" no bloco fazendo com que a velocidade com que ele escorrega seja alterada. Esta pseudo força é chamada de Força de Einstein.

Princípio da indução finita

Definição e exemplos do princípio da indução finita

Este princípio é utilizado para a solução de diversos exercícios, porém ele serve apenas para aqueles que envolvem números inteiros e para exercícios que pedem que seja provado que algo é verdadeiro para um conjunto de valores inteiros.

Vou falar sobre o princípio utilizando a fórmula da soma da PA (Progressão Aritmética) para esclarecer.

 

Para isso, será necessário o uso da fórmula do termo geral da PA:

Voltamos ao método, que basicamente consiste em 3 etapas:

1ª Etapa - Dado um conjunto de valores inteiros que se deseja verificar a validade de algo proposto, deve-se verificar se é válido para o menor valor do conjunto.

No exemplo então, vamos verificar se a fórmula da soma da PA é válida para n = 1. Neste caso, é muito fácil perceber já que a soma será igual a a1, já que este é o único termo.

Vamos verificar se usando a fórmula o resultado é obtido:

O resultado obtido é correto, logo a fórmula da Soma da PA vale para o menor elemento do conjunto.

2ª Etapa - Assume-se que para um elemento 'k' qualquer e genérico do conjunto a fórmula é verdadeira.

Do exemplo vamos calcular a soma dos primeiros 'k' elementos do conjunto, neste caso, pela fórmula da soma da PA teremos que:

3ª Etapa - Assumindo que o resultado obtido na Etapa 2 seja verdadeiro, calculamos o resultado para 'k+1' e verificamos se obtemos a fórmula desejada.

Do exemplo usado temos então que a soma dos 'k+1' primeiros elementos é a soma dos 'k' primeiros elementos mais o elemento 'k+1'. Veja:

Observe que se usarmos a fórmula da soma da PA para calcular a soma dos 'k+1' primeiros termos (substituindo n = k+1) teremos exatamente o resultado acima. Portanto, provamos que a fórmula é válida sempre. Porém, por que podemos concluir isso? Por que o uso do princípio garante a validade da fórmula para qualquer quantidade de elementos?

Bom, tudo se resume às etapas que foram seguidas. 

Foi mostrado que para o primeiro elemento a fórmula é válida. 

Após isso, supomos na Etapa 2 que para um número de elementos 'k' qualquer ela é válida e a partir do resultado da Etapa 2 obtemos o resultado para 'k+1' e verificamos que ele é válido. A grande dúvida que surge é por que podemos garantir que o resultado obtido na Etapa 2 é válido?

Na verdade a gente não garante isso, apenas supõe. Porém se a partir do resultado da Etapa 2 pudermos obter um resultado satisfatório na Etapa 3 então o resultado é válido. O que garante isso é o seguinte raciocínio:

- Para o menor elemento a equação é válida;

- Então, se 'k' = 1 a nossa suposição da Etapa 2 é verdadeira, e não apenas uma suposição, já que mostramos na Etapa 1 isso;

- Mas na Etapa 3 nós mostramos que se 'k' é verdadeiro, então 'k+1' também é;

- Como para 'k' = 1 vimos que é verdadeiro na Etapa 1, então certamente para 'k+1' = 2 também será, como visto na Etapa 3;

- Mas se para 'k' = 2 é verdadeiro, então para 'k+1' = 3 também será;

- Mas se para 'k' = 3 é verdadeiro, então para 'k+1' = 4 também será;

- ...

Assim, o princípio garante que para qualquer 'k' ele é verdadeiro, desde que as etapas sejam satisfeitas.

Exercícios que o princípio foi usado:

Somatório de n²

Dedução da fórmula da soma da PG por indução

Aula sobre PG

Exercício Resolvido - Inteiros de Gauss

O exercício resolvido neste post será o Problema 1 do capítulo "Inteiros de Gauss" do arquivo disponível no link http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/gauss.doc escrito por Guilherme Fujiwara.
Deste arquivo irei transcrever algumas definições e teoremas, conforme eles forem sendo usados, porém não serão disponibilizadas aqui as provas dos teoremas. Estas podem ser vistas no próprio documento.

Problema 1. Determine todos os pares x, y Î Z tal que y³ = x² + 1.

Solução:

y³ = x² + 1

y³ = (x + i)*(x - i)

onde

i² = -1.

INTEIROS DE GAUSS
Definimos o conjunto Z[i] dos inteiros de Gauss como Z[i] = {a + bi | a, b Є Z}, onde (i² = –1).

Fatoração única

Todo inteiro z de Gauss com norma maior que 1 pode ser escrito como o produto de um ou mais primos de Gauss. Além disso, esta fatoração é única.

Desta forma, como desejamos soluções pertencentes a Z para x e y, então (x + i) e (x - i) são inteiros de Gauss. Portanto, pela propriedade da fatoração única, cada um deles pode ser escrito como o produto de primos de Gauss, onde um primo de Gauss é definido por ser um inteiro de Gauss que não pode ser escrito pelo produto de dois inteiros de Gauss não unitários.

Assim:

(x + i) = (α1)ᵃ¹*(α2)ᵃ²*(α3)ᵃ³*...*(αk1)ᵃᵏ¹

(x - i) = (β1)ᵇ¹*(β2)ᵇ²*(β3)ᵇ³*...*(βk2)ᵇᵏ²

onde αn e βn são primos de Gauss e an e bn são os expoentes dos termos da fatoração.

Da fatoração acima, será necessário saber se existe algum α ou β iguais, ou seja, se algum dos primos da fatoração de (x + i) é igual a algum dos primos da fatoração de (x - i). O que se pode deduzir é que, se existe algum termo das fatorações de ambos que sejam iguais, então este primo também é um termo na fatoração de qualquer combinação aritmética (soma, subtração, divisão e multiplicação) entre eles.
Fazendo:
(x + i) - (x - i) = 2i
(x + i) + (x - i) = 2x
Portanto, caso exista algum α que seja igual a algum β, este é 2 (ou 2i, ou -2, ou -2i), já que as unidades dos inteiros de Gauss são 1, -1, i e -i.

Obs.: É importante perceber que o 2 não é, necessariamente, um termo da fatoração. O que se ressalta aqui é que se o 2 for termo da fatoração de um deles, então é dos dois e neste caso este seria o único termo em comum na fatoração de (x + i) e (x - i). Logo, qualquer α é diferente de qualquer β, exceto se um deles for 2.

Porém, da divisibilidade temos que:

Divisibilidade
Dizemos que para a, b Є Z[i], a|b (lê-se a divide b) se Ǝ c Є Z[i] tal que b = ac.

Logo, se 2ᵏ é fator da decomposição de (x + i), então existe um c = (a + bi) (inteiro de Gauss) tal que:

x + i = 2ᵏ*(a + bi)

x + i = 2ᵏ*a + 2ᵏ*bi

Ou seja:

2ᵏ*b = 1. Mas como b é um inteiro, então k = 0.

Portanto, a equação inicial fica:
y³ = [(α1)ᵃ¹*(α2)ᵃ²*(α3)ᵃ³*...*(αk1)ᵃᵏ¹]*[(β1)ᵇ¹*(β2)ᵇ²*(β3)ᵇ³*...*(βk2)ᵇᵏ²]

Porém, para que y seja inteiro, cada um dos expoentes a1, a2, a3, ..., ak1 e b1, b2, b3, ..., bk2 devem ser múltiplos de 3, já que todos os primos de Gauss α e β são diferentes. Desta forma podemos escrever a equação:
y³ = [(α1)ᵃ¹'*(α2)ᵃ²'*(α3)ᵃ³'*...*(αk1)ᵃᵏ¹'*(β1)ᵇ¹'*(β2)ᵇ²'*(β3)ᵇ³'*...*(βk2)ᵇᵏ²']³
Além disso:
(x + i) =  [(α1)ᵃ¹'*(α2)ᵃ²'*(α3)ᵃ³'*...*(αk1)ᵃᵏ¹']³
e
(x - i) = [(β1)ᵇ¹'*(β2)ᵇ²'*(β3)ᵇ³'*...*(βk2)ᵇᵏ²']³
Usando:
(α1)ᵃ¹'*(α2)ᵃ²'*(α3)ᵃ³'*...*(αk1)ᵃᵏ¹' = u + vi
Onde u + vi é um inteiro de Gauss.

Assim:
(x + i) = (u + vi)³ = [u³ + 3u²vi + 3u(vi)² + (vi)³] = u³ + 3u²vi - 3uv² - v³i = (u³ - 3uv²) + i*(3u²v - v³)
Então:
(x + i) = (u³ - 3uv²) + i*(3u²v - v³)
e
(x - i) = (u³ - 3uv²) - i*(3u²v - v³)
Logo:
3u²v - v³ = 1
3u² - v² = 1/v

Porém, como u é um inteiro e v também é um inteiro, v só pode ser ±1, caso contrário |1/v| < 1, o que não é uma solução possível para 3u² - v² sendo u e v inteiros.

Assim:
Para v = 1:
3u² - 1 = 1
u² = 3/2
O que não é possível, pois u é inteiro.

Para v = -1
3u² - 1 = -1
u = 0
Ok.

Logo:
(x + i) = (u³ - 3uv²) + i*(3u²v - v³) = 0 + i
Ou seja
x = 0

Neste caso
y³ = 0² + 1
y = 1

Portanto, este exercício só admite uma solução:
x = 0
y = 1

Limite fundamental exponencial (Euler)

Comprovação com uso da análise da existência do limite fundamental de Euler

Neste post será comprovada a existência do limite fundamental exponencial.

Para isto, será utilizado o seguinte teorema e a seguinte proposição:

O limite a ser calculado é dado por:

Assim, definimos

Temos que a função f(x) acima tem seu domínio no conjunto dos reais exceto o zero. Como queremos o limite para x tendendo ao infinito, então o zero não será um problema. Neste caso, podemos definir a sequência xn = n, onde n são números inteiros e portanto a sequência esta contida no domínio da função f(x), podendo ser aplicado o Teorema 1.

Desta forma:

Porém, como n é inteiro, podemos escrever f(n) em binômio de Newton na forma de uma série:

Para seguir com os cálculos é importante saber se f(n) é crescente ou decrescente, pois isso irá nos permitir concluir se existe o limite exponencial.

Sabemos que:

Agora, para verificar se é crescente ou decrescente, irei iniciar o estudo supondo que a função é crescente e assim, saber se isso é verdadeiro ou não. Se ela for crescente, então f(n) < f(n+1), ou seja:

Na etapa (3) acima, é possível verificar que o termos de dentro do somatório do lado esquerdo é negativo e portanto a desigualdade é verdadeira, o que garante que f(n) é crescente como suposto inicialmente.

Agora, um passo importante é saber se f(n) é limitado, ou seja, que existe um K tal que, para qualquer n, f(n) < K. Com isso, da Proposição 1, é possível garantir que f(n) converge.

Verificando se f(n) é limitada superiormente:

O somatório obtido acima é a soma de uma PG, que é facilmente calculado:

Logo, temos que f(n) é limitada superiormente e crescente, o que garante que o limite existe. O valor do limite não é possível ser calculado sem o uso de um software ou mesmo de recursos envolvendo derivada ou série de Taylor, que a meu entender são conteúdos que estão a frente destes aplicados aqui.

Porém, caso deseja-se calcular este limite, pode ser feito com o uso da regra de L'Hopital, por exemplo:

Substituindo a variável 1/x = y e após isso aplicando L'Hopital, temos:

Exercício Resolvido - Limite

Calcule ou mostre que não existe, sem aplicar L'Hôpital e/ou aproximações polinomiais.

Solução:

Para resolver esses limites, um teorema deve ser enunciado:

Teorema 1: Sejam as funções f,g: D → ℜ

Sejam as constantes a Є D’ e b₁,b₂ Є ℜ tais que lim_x→a f(x) = b₁ lim_x→a g(x) = b₂

Então:

a) lim_x→a (f + g)(x) = b₁ + b₂

b) lim_x→a (f*g)(x) = b₁*b₂

c) Se b₂ ≠ 0  lim_x→a (f/g)(x) = b₁/b₂

Onde D’ são os pontos de acumulação do domínio de f e g.

a)

Fazendo uma substituição de variável u = sen(x)/cos(x) = tg(x) onde para x tendendo a zero, u também tende a zero, adotando o Teorema 1 e conhecendo o limite:

temos que:

Gráfico da função:

b) Para quem não percebeu (ou para quem não sabe ainda), esse limite é a derivada da função seno.

Percebam que no limite, x → a, ou seja, x é um pouco diferente de a, mas muito próximo de a. Assim, podemos dizer que x = a + h, sendo que no limite, h → 0.

Como a é uma constante, cos(a) e sen(a) também é constante e poderá sair de dentro do limite quando estiver multiplicando. 

Conhecendo o lim_x→0 sen(x)/x mencionado no exercício anterior, temos:

Mas:

Onde lim_h→0 sen(h)/h = 1 e lim_h→0 sen(h)/[cos(h)+1] = 0/2 = 0. Logo, 1*0 = 0. Portanto:

Assim, voltando ao exercício:

Gráfico da função para a = 0 em azul, a = π/4 em vermelho e a = π/2 em preto:

c)Para resolver este exercício, devemos fatorar os polinômios que estão dentro da raiz:

1-x³ = (1-x)*(x² + x + 1)

x²-1 = (x-1)*(x+1)

Da divisão, o termo (x-1) pode ser simplificado, ficando:

Gráfico da função em azul e em vermelho uma reta horizontal passando pela raiz cúbica de -3/2.