No ponto P de coordenadas
Solução:
A primeira superfície é mais simples de perceber que é um cilindro. A segunda é um paraboloide. As superfícies podem ser vistas, separadas, abaixo:
Colocando elas juntas, temos:
Cálculo da curva da intersecção das superfícies:
Se há intersecção, então os valores de x, y e z devem ser iguais nas duas superfícies. A primeira superfície pode ser parametrizada da seguinte forma:
Porém, das Relações Trigonométricas temos que Sen²(a) + Cos²(a) = 1. Assim:
Podendo ser feita a igualdade:
A equação paramétrica fica:
Como z pode assumir qualquer valor pois não é dependente de x nem de y na primeira superfície, então sua forma parametrizada pode ser z = z. Ficando, portanto:
A outra superfície tem equação z = x² + y²
Assim, a curva de intersecção das superfícies na sua forma parametrizada é:
Ou seja, a curva é uma circunferência de raio 2 na altura z = 4. Veja na figura abaixo a curva em cor vermelha:
O que o exercício pede é a reta tangente à curva de intersecção no ponto P.
Esta reta terá equação do tipo
Onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. Porém, como ela é tangente no ponto P então o coeficiente angular da reta deve ser a derivada de y em relação a x. A derivada pode ser calculada por:
Mas, no ponto P temos que:
Logo:
Assim,
Com isso, já é possível determinar a equação da reta:
Como ela passa pelo ponto P:
A equação da reta fica:
A parametrização pode ser feita da seguinte forma:
Veja também:
Exercício Resolvido - Geometria analítica: Reta e elipse
Abaixo a figura com o ponto P em verde e em preto, a reta tangente:
Aproximando um pouco mais:
Valeu brother!!!!
ResponderExcluirEu que agradeço
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