Solução:
Primeiro, precisamos saber o que é uma base?
Sem muitos critérios matemáticos, um conjunto de vetores B é chamado de base de um espaço vetorial E se, a partir da combinação linear dos vetores que formam B pudermos formar qualquer vetor do espaço E e se os vetores que formam B forem linearmente independentes.
Além disso, temos que qualquer base de um espaço vetorial tem o número de vetores iguais à dimensão deste espaço.
Uma base para o conjunto dos reais (R¹) pode ser o número 1, pois a partir dele podemos formar qualquer número real multiplicando 1 por um coeficiente a1 real. -> 5,4 = 5,4*1
Uma base para o conjunto R² pode ser B = {(1,0) , (0,1)}, pois a partir destes vetores podemos formar qualquer vetor do espaço R² multiplicando pelos coeficientes reais a1 e a2. -> (2,7) = 2*(1,0) + 7*(0,1)
Nestes dois casos temos que R¹ tem dimensão 1, e R² tem dimensão 2.
Neste caso, o primeiro critério é claramente satisfeito por F, já que F tem 3 vetores, são eles:
'a', 'b' e 'c'.
O que resta saber é se 'a', 'b' e 'c' são linearmente independentes.
Aqui, precisamos saber o que é ser Linearmente Independente.
Um conjunto de vetores (v1,v2,v3,...,vn) é linearmente independente se para quaisquer coeficientes reais (a1,a2,a3,...,an), não todos nulo, temos:
a1*v1 + a2*v2 + a3*v3 + ... + an*vn ≠ 0
Agora podemos voltar ao exercício.
Do exercício temos que E(u,v,w) é uma base.
Sabendo que:
u = 2a + 2b
v = 2a - b
w = a + b - 5c
Assim, manipulando temos:
a = u/2 -b
a = (v+b)/2
a = w - b + 5c
u - 2b = v + b
b = (u - v)/3
a = u/2 - u/3 + v/3
a = (u + 2v)/6
c = (a + b - w)/5
c = [(u + 2v)/6 + (u - v)/3 - w]/5
c = (u/2 - w)/5
Se F não é um espaço vetorial:
a1*a + a2*b + a3*c = 0, para algum valor de a1, a2, a3 reais desde que não sejam todos nulos. Porém, se a única solução é a de serem todos nulos, então F é um espaço vetorial.
a1*(u + 2v)/6 + a2*(u - v)/3 + a3*(u/2 - w)/5 = 0
u*(a1/6 + a2/3 + a3/10) + v*(a1/3 - a2/3) - w*(a3/5) = 0
Para isso ser verdade, como (u,v,w) são Linearmente Independentes, esta igualdade só é válida se:
a1/6 + a2/3 + a3/10 = 0
a1/3 - a2/3 = 0, desta equação temos que a1 = a2.
a3/5 = 0, desta temos que a3 = 0
Substituindo os resultados na primeira equação temos:
a1/6 + a1/3 = 0
O que só é válido se a1 = 0.
Logo, a equação a1*a + a2*b + a3*c = 0 só é verdade se a1 = a2 = a3 = 0. Logo, F é Linearmente Independente e portanto uma base.
