Exercício Resolvido - Teorema do Valor Intermediário

Usando o Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.), mostre que a equação abaixo possui alguma raiz negativa: 

7x²°¹³ − 2x +1= 0 

Solução:

Obs.: O teorema do valor intermediário diz que se uma função é contínua num intervalo [a,b] e se existe um valor k tal que:

f(a) < k < f(b)

então, existe um valor c tal que f(c) = k.

Este teorema é bastante intuitivo, basta perceber que se uma função é contínua e se ela passa por dois valores, então ela passou por todos os que estão entre eles.

Exemplo:

f(x) = x² + x + 3

f(0) = 3

f(2) = 9

Assim, para qualquer valor k entre 3 e 9 existe um c Є [0,2] tal que f(c) = k, veja:

Para k = 5, c = 1

Para k = 6, c = 1,30278 

Para k = 7,5, c = 1,679

...

Voltando ao exercício:

Temos então:

f(x) = 7x²°¹³ − 2x +1

Assim:

f(0) = 1

f(-1) = 7*(-1) + 2 + 1 = -7 + 3
f(-1) = -4

Assim, basta adotar k = 0 (que esta entre [-4,1]) e, com base no teorema do valor intermediário, garantimos que existe um c Є [-1,0] tal que:

f(c) = k = 0.

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