Considere o polinômio 5x³ – 3x² – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma √n, onde n é um numero natural, pode se afirmar que:
A)1≤ n < 5
B)6 ≤ n < 10
C)10 ≤ n < 15
D)15 ≤ n < 20
E)20 ≤ n < 30
Solução:
Vou resolver esse exercício através de análise utilizando as alternativas.
Sabe-se que, pelo Teorema do Valor Intermediário, num intervalo [a,b] do domínio de uma função contínua, f(a) < f(b), então existe f(c) tal que f(a) < f(c) < f(b) tal que c Є [a,b]. Chamando 5x³ - 3x² - 60x + 36 = f(x).
Obs.: A lógica desse teorema é a seguinte. Se uma função é contínua, então você consegue desenhar o gráfico dela sem tirar o lápis do papel, assim, se em algum momento ela é negativa e em outro ela é positiva, certamente ela passou pelo zero, e por todos os outros valores que estão entre esses dois.
Assim, para a alternativa A):
f(√1) = 5*(√1)³ - 3*(√1)² - 60*√1 + 36 = -11
f(√5) = 5*(√5)³ - 3*(√5)² - 60*√5 + 36
f(√5) = 5*5*√5 - 3*5 - 60*√5 + 36
f(√5) = 25*√5 - 15 - 60*√5 + 36
f(√5) = 21 - 35√5 = -57,26
Ambos os resultados são negativos o que não nos garante a existência de uma raiz no intervalo. Porém, para testarmos todas as possibilidades que as alternativas oferecem, seriam muitos testes o que nos leva a crer que devemos achar algum meio mais rápido. Um ponto importante a se perceber é que se n não é um quadrado perfeito, então os termos de coeficiente 5 e -60 devem se anular, pois como eles multiplicam x com expoente ímpar eles serão os únicos termos multiplicando uma raiz. Assim, se eles não se anularem, o resultado não será zero como desejado. Desta forma, caso n não seja um quadrado perfeito:
5*(√n)³ - 60*(√n) = 0
f(√5) = 5*5*√5 - 3*5 - 60*√5 + 36
f(√5) = 25*√5 - 15 - 60*√5 + 36
f(√5) = 21 - 35√5 = -57,26
Ambos os resultados são negativos o que não nos garante a existência de uma raiz no intervalo. Porém, para testarmos todas as possibilidades que as alternativas oferecem, seriam muitos testes o que nos leva a crer que devemos achar algum meio mais rápido. Um ponto importante a se perceber é que se n não é um quadrado perfeito, então os termos de coeficiente 5 e -60 devem se anular, pois como eles multiplicam x com expoente ímpar eles serão os únicos termos multiplicando uma raiz. Assim, se eles não se anularem, o resultado não será zero como desejado. Desta forma, caso n não seja um quadrado perfeito:
5*(√n)³ - 60*(√n) = 0
5*n*(√n) – 60*(√n) = 0
5*n*(√n) = 60*(√n)
Dividindo tudo por 5*(√n)
n = 12
Verificando:
f(√12) = 5*(√12)³-3*(√12)²-60*(√12)+36 = 60*(√12) – 3*12 – 60*(√12) + 36 = 0.
Resposta: Letra C), com n = 12.
Gráfico da função:
Dando um zoom:
Exercícios relacionados:
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