Dedução da área de uma elipse ~ Brawn Exercícios

Supondo uma elipse, conforme figura a seguir:

Como pode ser observado, pelo pontos onde a elipse corta os eixos, esta elipse tem equação:

Porém no caso deste exercício, deseja-se que a elipse seja genérica, assim, adotaremos como sendo a equação:

Assim, tomando um "pedaço da área" muito pequeno, chamado de dA, conforme mostrado na figura a seguir.

podemos observar que a área dA vale dx*dy. Assim, e somarmos todas as pequenas áreas dA que existem dentro da elipse, teremos a área total dela, ou seja, devemos, neste caso, integrar para obter a área que desejamos.

Neste ponto, o que precisamos definir são os limites de integração.

Assim, pode-se perceber que:

Da equação tiramos os limites de y:

Assim, integrando dy temos:

Fazendo uma substituição de variável, onde x = a*Sen(u), temos, dx = a*Cos(u)*du e para definir os novos limites da integração, procedemos da seguinte forma:

Para x = a, u = π/2

Para x = -a, u = -π/2

Logo:

Mas como 1 - Sen²(u) = Cos²(u).

A integração de Cos² pode ser feita sabendo-se que Cos² = 1 - Sen², assim:

Porém, com este método não é possível obter a solução, já que não conhecemos o valor de integral de Sen². Para isso, devemos utilizar o método da integração por partes de Cos² da seguinte forma:

f(u) = Cos(u)

g ' (u) = Cos(u)du

f ' (u) = -Sen(u)du

g(u) = Sen(u)