A integral nada mais é do que um somatório contínuo de áreas infinitamente pequenas.
Por exemplo:
Imagine o seguinte somatório discreto:
Neste caso, a soma é discreta pois há um intervalo entre cada fator. A distância entre o 4 e o 1, por exemplo, é de 3, o que não permite que esta soma seja contínua, mas sim discreta. Além disso, o somatório acima não é de áreas, e sim de pontos.
Agora imagine este mesmo somatório onde cada um dos fatores da soma representam a altura de um retângulo. Assim, se multiplicarmos cada um por uma largura, teremos um somatório de várias áreas. Neste caso, uma das possibilidades é adotarmos que a largura é o intervalo entre cada um dos i's. No caso acima o intervalo entre eles é 1. Assim, a soma fica:
O somatório acima é representado, graficamente, na figura a seguir.
O exemplo acima foi propositalmente mencionado pois ele é introdutório para que possamos calcular a integral da curva f(x) = x² para x variando de zero até 3. Neste caso, podemos adotar convenientemente dois tipos de retângulos. Um com diagonal em (i, 0) e (i + Δi , f(i + Δi)), que são os mostrados anteriormente, e retângulos com diagonal (i, 0) e (i + Δi , f(i)). Abaixo, os retângulos com suas diagonais para i variando de 1 em 1 até 3, além da curva, em vermelho, de f(x) = x²:
O cálculo da integral da curva f(x) é o cálculo da área abaixo da curva. Neste caso, podemos observar que a soma das áreas dos retângulos azuis é menor do que a área da curva, e a soma das áreas dos retângulos cinza, é maior. Temos, neste caso, a soma das áreas dos retângulos cinzas igual a 14, e dos retângulos azuis, 5. Porém, a medida que vamos diminuindo o intervalo entre os i's, a área da soma dos retângulos se aproxima da área da curva. Perceba como ficaria para o intervalo entre os i's sendo de 0,5.
Neste novo exemplo, a soma dos retângulos cinzas será de:
(0.5²)*0.5 + (1²)*0.5 + (1.5²)*0.5 + (2²)*0.5 + (2.5²)*0.5 + (3²)*0.5 = 11,375
E dos retângulos azuis:
(0²)*0.5 + (0.5²)*0.5 + (1²)*0.5 + (1.5²)*0.5 + (2²)*0.5 + (2.5²)*0.5 = 6,875
É fácil de perceber que os resultados ficaram mais próximos entre si e na figura é fácil notar que as áreas se aproximaram da área abaixo da curva. Fazendo o intervalo entre os i's sendo de 0,1, é muito mais fácil de perceber isso. Veja a seguir:
Como, neste caso, a base dos retângulos Δi = 3/nret = 3/30 = 0,1 (onde nret é o número de retângulos) e a altura é dada por k², onde k = i*Δi, sendo que para os retângulos cinzas i = 0,1,2,3,...,30 e para os retângulos azuis e i = 0,1,2,3,...,29. Desta forma temos:
Para os retângulos cinzas:
Podemos tirar para fora do somatório os termos não dependentes de i:
Porém, de acordo com o que já foi feito no blog, o somatório pode ser substituído por uma equação, conforme segue:
No caso do exemplo, basta substituir nret = 30 e temos:
Usando o mesmo raciocínio é possível mostrar que a área dos retângulos azuis é:
A medida que aumentamos nret a área dos retângulos tende à área abaixo da curva. Neste caso, a área abaixo da curva será o limite dos resultados obtidos acima, para nret tendendo ao infinito. É importante perceber que para nret tendendo ao infinito, tanto a área cinza quanto a azul será nove, já que os fatores que têm nret dividindo tenderão a zero.
Assim, obtemos o resultado da integral de f(x) = x² para 0 < x < 3.
Deve-se salientar que a integral não se define pela soma de áreas retangulares, mas sim de áreas infinitamente pequenas. O método adotado anteriormente usando retângulos foi apenas um artifício, é possível chegar ao mesmo resultado com métodos diferentes.
Outro exemplo que podemos usar este conceito é o do cálculo da área do círculo. Alguns autores alegam que a motivação para o cálculo integral surgiu pois os matemáticos não conseguiam calcular a área de um círculo. Assim, eles foram colocando vários polígonos regulares inscritos e circunscritos num círculo de raio 1. A medida que aumentava-se o número de lados dos polígonos, o polígono de dentro tinha uma área maior, e o de fora, menor, onde a área deles tendia a um limite, a área do circulo.
Agora imagine este mesmo somatório onde cada um dos fatores da soma representam a altura de um retângulo. Assim, se multiplicarmos cada um por uma largura, teremos um somatório de várias áreas. Neste caso, uma das possibilidades é adotarmos que a largura é o intervalo entre cada um dos i's. No caso acima o intervalo entre eles é 1. Assim, a soma fica:
O somatório acima é representado, graficamente, na figura a seguir.
O exemplo acima foi propositalmente mencionado pois ele é introdutório para que possamos calcular a integral da curva f(x) = x² para x variando de zero até 3. Neste caso, podemos adotar convenientemente dois tipos de retângulos. Um com diagonal em (i, 0) e (i + Δi , f(i + Δi)), que são os mostrados anteriormente, e retângulos com diagonal (i, 0) e (i + Δi , f(i)). Abaixo, os retângulos com suas diagonais para i variando de 1 em 1 até 3, além da curva, em vermelho, de f(x) = x²:
O cálculo da integral da curva f(x) é o cálculo da área abaixo da curva. Neste caso, podemos observar que a soma das áreas dos retângulos azuis é menor do que a área da curva, e a soma das áreas dos retângulos cinza, é maior. Temos, neste caso, a soma das áreas dos retângulos cinzas igual a 14, e dos retângulos azuis, 5. Porém, a medida que vamos diminuindo o intervalo entre os i's, a área da soma dos retângulos se aproxima da área da curva. Perceba como ficaria para o intervalo entre os i's sendo de 0,5.
Neste novo exemplo, a soma dos retângulos cinzas será de:
(0.5²)*0.5 + (1²)*0.5 + (1.5²)*0.5 + (2²)*0.5 + (2.5²)*0.5 + (3²)*0.5 = 11,375
E dos retângulos azuis:
(0²)*0.5 + (0.5²)*0.5 + (1²)*0.5 + (1.5²)*0.5 + (2²)*0.5 + (2.5²)*0.5 = 6,875
É fácil de perceber que os resultados ficaram mais próximos entre si e na figura é fácil notar que as áreas se aproximaram da área abaixo da curva. Fazendo o intervalo entre os i's sendo de 0,1, é muito mais fácil de perceber isso. Veja a seguir:
Como, neste caso, a base dos retângulos Δi = 3/nret = 3/30 = 0,1 (onde nret é o número de retângulos) e a altura é dada por k², onde k = i*Δi, sendo que para os retângulos cinzas i = 0,1,2,3,...,30 e para os retângulos azuis e i = 0,1,2,3,...,29. Desta forma temos:
Para os retângulos cinzas:
Podemos tirar para fora do somatório os termos não dependentes de i:
Porém, de acordo com o que já foi feito no blog, o somatório pode ser substituído por uma equação, conforme segue:
No caso do exemplo, basta substituir nret = 30 e temos:
Usando o mesmo raciocínio é possível mostrar que a área dos retângulos azuis é:
A medida que aumentamos nret a área dos retângulos tende à área abaixo da curva. Neste caso, a área abaixo da curva será o limite dos resultados obtidos acima, para nret tendendo ao infinito. É importante perceber que para nret tendendo ao infinito, tanto a área cinza quanto a azul será nove, já que os fatores que têm nret dividindo tenderão a zero.
Assim, obtemos o resultado da integral de f(x) = x² para 0 < x < 3.
Deve-se salientar que a integral não se define pela soma de áreas retangulares, mas sim de áreas infinitamente pequenas. O método adotado anteriormente usando retângulos foi apenas um artifício, é possível chegar ao mesmo resultado com métodos diferentes.
Outro exemplo que podemos usar este conceito é o do cálculo da área do círculo. Alguns autores alegam que a motivação para o cálculo integral surgiu pois os matemáticos não conseguiam calcular a área de um círculo. Assim, eles foram colocando vários polígonos regulares inscritos e circunscritos num círculo de raio 1. A medida que aumentava-se o número de lados dos polígonos, o polígono de dentro tinha uma área maior, e o de fora, menor, onde a área deles tendia a um limite, a área do circulo.
Polígonos com três, quatro, cinco, seis e quinze lados. Perceba que com 15 lados, os polígonos se aproximam bem do círculo, e consequentemente, suas áreas também.
O cálculo da área dos polígonos pode ser feito da seguinte forma (vou fazer o cálculo apenas do polígono inscrito, fazendo pelo circunscrito, certamente, teremos o mesmo resultado, e pode ficar como exercício para o leitor):
Sabe-se que a área de um triângulo pode ser obtida pelo produto de dois lado desse triângulo, multiplicado ao seno do ângulo entre eles dividido por dois.
Exemplo:
Um triângulo que tem dois lados medindo 5 e 8, e um ângulo entre eles de 45º, terá área de: (1/2)*(5*8*Sen(45°)) = 20 * √(2)/2 = 10 * √(2)
Neste caso, se traçarmos retas do centro da circunferência até cada vértice do polígono inscrito (cada traço desses mede o raio, percebe?) teremos vários triângulo iguais. Na verdade, o número de triângulos formado é igual ao número de lados do polígono. Ainda, o ângulo entre essas retas (esses lados de tamanho igual ao raio) é exatamente 360°/n (ou 2π/n em radianos), sendo n o número de lados do polígono. Ou seja, se o polígono é um triângulo, o ângulo entre as retas será de 120°.
Assim, a área do polígono será a soma da área dos triângulos, como o número de triângulos é 'n', e esses triângulos são formados por dois lados de medida igual ao raio e o ângulo entre esses lados é 360°/n, temos que a área do polígono será:
Fazendo o limite para n tendendo ao infinito e substituindo (1/n) por k, tal que se n tende ao infinito, k tende a zero, teremos (substituindo 360° por 2π radianos):
Como a parcela (r²/2) não depende de k, pode ser tirada pra fora do limite, ficando:
Porém, este limite não tem a forma dos limites conhecidos, mas é parecido com:
Basta aparecer 2*π multiplicando k embaixo, e chamamos 2*π*k = x, que teremos o limite acima, que é conhecido.
Assim:
Que é exatamente o valor da área do círculo.
Claro que naquela época eles não conheciam a medida de ângulo em radianos, já que eles nem conheciam o valor de π - passaram a conhecer depois de descobrir a área do círculo. Na verdade, o valor de π é até hoje desconhecido na sua plenitude, pois ele, aparentemente tem infinitas casas depois da vírgula e não é periódico. Uma forma de se aproximar a ele é fazendo este limite acima para um polígono de muitos lados. Mas utilizando a medida em radianos e o conhecimento de limite podemos perceber que a conta esta correta.
