Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas

Calcule a área gerada pela intersecção das curvas:

y1 = x³ - 6x² + 8x

y2= x² - 4x

Solução:

Para a solução desse tipo de exercício é recomendável que se estime as curvas para saber os intervalos de integração.

Por se tratarem de polinômios, este dado não é difícil de se obter.

Fazendo para y1 = x³ - 6x² + 8x = x(x² - 6x + 8)

Encontrando as raízes:

x(x² - 6x + 8) = 0

x = 0

x² - 6x + 8 = 0

Soma = 6

Produto = 8

Logo, as raízes são 4 e 2

(Este método de obtenção das raízes pela soma e produto é baseado na intuição, ou seja, verifica-se a soma das raízes (-b/a) e o produto delas (c/a) e se for possível observar os valor das raízes, como nesse caso, então não é necessário calculá-las).

Fazendo o limite de y1 para x tendendo ao infinito, temos y1 tendendo ao infinito.

O mesmo para x tendendo a -infinito -> y1 tende a -infinito.

Desta forma podemos estimar como este gráfico se comporta, veja:

Ele começa de -infinito, corta o eixo x para x = 0 e depois num ponto para x = 2 (certamente tem um ponto de máximo entre esses pontos). Após isso, corta o eixo x para x = 4 e cresce até o infinito.

Analisando y2 = x² - 4x. Como é uma equação do 2º grau, é bem fácil determinar esta curva.

Ela possui raízes x = 0 e x = 4. Como o coeficiente de x² é positivo, sua concavidade é para cima.

Com isso, pode-se estimar as duas curvas:

Em azul a curva de y1, em preto a curva de y2 e em amarela a área a ser calculada.

Agora, fica mais fácil fazer o exercício.
Devemos obter, inicialmente, os pontos onde as curvas se cortam.

Para isso, basta igualar as equações:
x² - 4x = x³ - 6x² + 8x
x(x - 4) = x(x² - 6x + 8)
x = 0 é uma solução

x-4 = x² - 6x + 8
x² - 7x + 12 = 0

Soma = 7
Produto = 12
Raízes: x = 4 e x = 3 são outras soluções.

Logo, as curvas se interceptam para:

x = 0, x = 3 , x = 4
y = 0, y = -3, y = 0

Pontos:
(0,0) , (3,-3) , (4,0)

Agora, observando a figura, temos que a primeira área varia, em x, de 0 a 3, e em y, de y2 a y1 ficando:

A segunda área varia, em x, de 3 a 4, e em y, de y1 a y2. Perceba um detalhe, que nesta segunda área a variação de y é trocada, por isso a área não pode ser calculada numa vez só, ou seja, com x variando de 0 a 4 e y de y2 a y1, pois se assim fosse feito, esta segunda área seria computada como negativa.

Assim, a área total é A1 + A2 = (135 + 7)/12 = 71/6