Essa questão foi tirada do livro "Fundamentos de Matemática Elementar Vol 8".
Solução:
Dedução do teorema da derivada inversa.
Seja f(x) = y uma função de x.
Assim, seja 'g' a inversa de f(x), ou seja, g(y) = x.
Exemplo:
f(x) = 3x + 4
y = 3x + 4
x = (y - 4) / 3 = g(y)
Vale ressaltar que a função do exemplo é bijetora em qualquer intervalo real. Por isso admite inversa em qualquer intervalo.
O que queremos é a derivada da inversa de f(x), ou seja, g ' (y).
Sebe-se que
g(y) = x
Logo, f(g(y)) = y
Utilizando o teorema da derivada composta, derivando dos dois lados em relação a y, temos:
f '(g(y))*g '(y) = 1
g '(y) = 1 / f '(g(y))
Mas g(y) = x
g '(y) = 1 / f '(x)
Voltando ao exercício: f(x) = x³ + x² + 4x
f '(x) = (3x² + 2x + 4)
Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
Para y = 6, devemos achar o valor de x:
x³ + x² + 4x = 6
x³ + x² + 4x - 6 = 0
Por inspeção, percebemos que x = 1 satisfaz.
Como a função é bijetora, só admite uma solução. Porém, toda equação do terceiro grau, tem 3 soluções. Logo, as outras duas devem ser complexas.
Verificando:
Como x = 1 é raiz:
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + ax + b)
x³ + x² + 4x - 6 = x³ + ax² + bx - x² - ax - b
b = 6
a = 2
x³ + x² + 4x - 6 = (x-1)*(x² + 2x + 6)
E de fato, as raízes de x² + 2x + 6 são complexas.!
Logo:
g '(y) = 1 / (3x² + 2x + 4)
g '(6) = 1 / (3*1² + 2*1 + 4) = 1 / (3+2+4) = 1/9
Valeu! Não sei nem como agradecer, brigadão mesmo! Eu travei nessa equação do terceiro grau, não fazia mínima de como encontrar as raízes. Enfim, agora posso dormir mais tranquilo rsrs
ResponderExcluirSó mais uma coisa: Quando a função é bijetora, ela tem necessariamente apenas uma raiz real? Não sabia disso...
ResponderExcluirSim. Ser bijetora significa que para cada valor de x existe um e apenas um valor de f(x), ou, dizendo o mesmo só que de outra forma, para cada valor de f(x) existe apenas um valor de x.
ResponderExcluirPor exemplo:
f(x) = (x-3)*(x-4)
não é uma função bijetora, pois para f(x) = 0, temos dois valores de x (x = 3, x = 4).
Entendeu?
Olá novamente! Peguei uma questão aqui que me tirou algumas horas de sono, mas consegui resolver. Porém, não fiquei satisfeito com a minha resolução, visto que estou na faculdade e só utilizei recursos aprendidos no ensino médio, ou seja, nada de derivadas, integrais e talz. A questão é de minimização e envolve geometria analítica. Veja só:
ResponderExcluir- Traçar uma tangente à elipse 2x² + y² = 2 de modo que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados positivos seja mínima. Obter as coordenadas do ponto de tangência e a área mínima.
Valeu
Pedro, vou tentar ver se arrumo um tempo para fazer essa questão, mas não vou poder garantir cara. Começou minha semana de provas... Mas tendo tempo, vou tentar lhe ajudar.
ResponderExcluirA expressão da derivada y' para a função y=f(x) dada implicitamente pela expressão x^3=x+y/x-y
ResponderExcluiralguém pode me ajudar a calcular a derivada da função f(x) ( 3x²+x ) . (1+x+x³) e a função f(x) ( 2+x)²
ResponderExcluirUm pouco feliz com os exercicios mas o que mi colocou mas acioso foi o exemplo resolvido que ainda esta expressa em funcao do y enquanto e dada em funcao de x
ResponderExcluirUpssss! sim senhor, xtava mxmo sem saidas com o esse exercicio, muitissimo obrigad!
ResponderExcluirDe nada Zito
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