Considere a sequência numérica an, n ∈ ℕ definida por:
O termo an pode ser obtido através de:
(A) n∙log(2)
(B) (n+2)∙log(2)
(C) [n∙(n+1)/2]∙log(2)
(D) log(2ⁿ-1)
(E) log(2ⁿ⁺¹-2)
Solução:
Utilizando a seguinte propriedade de logaritmo:
log(xⁿ) = n∙log(x), podemos dizer que:
an+1 = an + log(2ⁿ⁺¹)
an+1 = an + (n+1)∙log(2)
Assim:
an = an-1 + n∙log(2)
Substituindo:
an+1 = an-1 + n∙log(2) + (n+1)∙log(2)
Se continuássemos com estas substituições:
an-1 = an-2 + (n-1)∙log(2)
an+1 = an-2 + (n-1)∙log(2) + n∙log(2) + (n+1)∙log(2)
...
an+1 = a1 + 2∙log(2) + 3∙log(2) + 4∙log(2) + ... + (n-1)∙log(2) + n∙log(2) + (n+1)∙log(2)
an+1 = a1 + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n + (n+1)]
Como a1 = log(2)
an+1 = log(2) + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n + (n+1)]
an+1 = log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n + (n+1)]
Ainda, o termo an, que é o que interssa nesse exercício, é obtido por:
an = log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n ]
Perceba que dentro do [] existe a soma de uma PA (aula sobre Progressão Aritmética), que é dada pela fórmula:
S = (a1 + an)*(n/2) = (1 + n)*(n/2)
Assim,
an = log(2)∙(1 + n)*(n/2)
Letra (C).
Exercícios relacionados:
http://brawnexercicios.blogspot.com.br/2012/01/progressao-aritmetica-pa.html
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Gostaria de entender essas substituições
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