Exercício Resolvido - Integrais

Solução de integrais

Calcule as seguintes integrais:

1) ∫ (sen2x/3cos³) dx
2) ∫ [(x²-10x+24)/(x-4)] dx
3) ∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx
4) ∫ [(x-1)/(1-√x)] dx
5) ∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx

Solução:
1)
Sabendo que
Sen(2x) = 2*Sen(x)Cos(x)
Podemos simplificar
Sen(2x) / 3*Cos³(x) = 2*Sen(x) / 3*Cos²(x)
Como se trata de uma integral, podemos tirar o 2/3 do integrando, pois ele não depende de x.
Ficando:
(2/3)∫[Sen(x) / Cos²(x)]dx

Agora, perceba que a derivada de Cos(x) é -Sen(x)dx, ou seja, substituindo Cos(x) por 'u', temos a seguinte integral:
(2/3)∫ - du / u² = (2/3)*(1/u) = (2/3)*[1/Cos(x)] = (2/3)*Sec(x)

Logo:
∫ [Sen(2x) / 3*Cos³(x)]dx = (2/3)*Sec(x) + k

2)
∫ [(x² - 10x + 24) / (x-4)]dx
Como x² - 10x + 24 pode ser escrito (x-4)*(x-6), temos
∫ [(x² - 10x + 24) / (x-4)]dx = ∫ [(x-4)*(x-6) / (x-4)]dx = ∫ (x-6)dx, para x ≠ 4
∫ (x-6)dx = x²/2 - 6x + k, onde k é uma constante.

3)
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx
Abrindo a soma, temos:
(1+cos²x)/(2cos²x) = 1 / [2Cos²(x)] + Cos²(x) / [2Cos²(x)] = (1/2)*[1/Cos²(x)] + 1/2 = (1/2)*[Sec²(x) + 1]
Mas,
Assim:
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = (1/2)*∫ [Sec²(x) + 1]dx = (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*∫ 1dx =
= (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*x + k1

Resta calcular: ∫ Sec²(x)dx
Para isso, devemos utilizar algumas propriedades trigonométricas:
Tan²(x) + 1 = Sec²(x)

Observando que:
Sec²(x) = Sen²(x) / Cos²(x) + 1
Sec²(x) = [Sen²(x) + Cos²(x)] / Cos²(x)

Mas:
[Sen²(x) + Cos²(x)] / Cos²(x) é a derivada de [Sen(x) / Cos(x)] = Tan(x)

Logo:
∫ Sec²(x)dx = Tan(x) + k2

Assim:
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = (1/2)*∫ Sec²(x)dx + (1/2)*x + k1 = (1/2)*[Tan(x) + k2 + x + k1]
Adotando que k1 + k2 = k
∫ [(1+cos²x)/(2cos²x)] dx = 0,5*[Tan(x) + x + k]

4)
∫ [(x-1)/(1-√x)] dx
Para iniciar esse exercício é interessante perceber que:
(x-1) = [√(x) - 1]*[√(x) + 1]

Assim:
∫ [(x-1)/(1-√x)] dx = ∫ [√(x) + 1] dx = ∫ √(x) dx + ∫ 1dx = (2/3)*√(x³) + x + k

5)
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = ∫ [2x²*(2+x²)/(x²+1)] dx = ∫ {2x²*[1+(1+x²)]/(x²+1)} dx =
= ∫ {[2x² + 2x²*(1+x²)]/(x²+1)} dx = ∫ 2x² / (x² + 1) dx + ∫2x²*(1+x²)/(x²+1)} dx =
= ∫ 2x² / (x² + 1) dx + ∫2x² dx

Calculando ∫2x² dx
∫2x² dx = (2/3) x³ + k1

Calculando
∫ 2x² / (x² + 1) dx
Fazendo uma substituição de variável:
x = Tan(u)
dx = Sec²(u) du

∫ 2x² / (x² + 1) dx = ∫ {2Tan²(u) / [Tan²(u) + 1]}*[Sec²(u) du]

Mas
1 + Tan²(u) = Sec²(u)

∫ {2Tan²(u) / [Tan²(u) + 1]}*[Sec²(u) du] = ∫ {2Tan²(u) / Sec²(u)}*[Sec²(u) du] = ∫ 2Tan²(u) du

Mas sabendo que Tan²(u) = Sen²(u) / Cos²(u)
E que
Sen²(u) + Cos²(u) = 1, logo, Sen²(u) = 1 - Cos²(u)
Tan²(u) = Sen²(u) / Cos²(u) = [1 - Cos²(u)] / Cos²(u) = 1/Cos²(u) - 1 = Sec²(u) - 1

Assim:
∫ 2Tan²(u) du = 2*∫ [Sec²(u) - 1] du = 2* [ ∫ Sec²(u) du - ∫ 1 du] = 2* [ ∫ Sec²(u) du - (u + k2)]

Mas já foi visto que
∫ Sec²(u) du = Tan(u) + k3

Logo
∫ 2Tan²(u) du =2Tan(u) + 2k3 - 2u - 2k2

E sabendo que u = ArcTan(x)
2Tan(u) + 2k3 - 2u - 2k2 = 2x + 2k3 - 2ArcTan(x) - 2k2

Logo:
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = (2/3) x³ + k1 + 2x + 2k3 - 2ArcTan(x) - 2k2

Para facilitar, podemos chamar k1 + 2k3 - 2k2 = k
∫ [(4x²+2x⁴)/(x²+1)] dx = (2/3) x³ + 2x - 2ArcTan(x) + k