Exercício Resolvido - Geometria plana. Hexágono

Considere um hexágono regular de vértices ABCDEF (com a sequência dos vértices no sentido positivo). Se A= (a1, a2) e B = (b1, b2) , pede-se determinar os vértices C, D , E e F. 

Solução:

Inicialmente, vou nomear os vértices do hexágono e suas coordenadas. O sentido ser positivo, indica que a ordem dos vértices é anti-horária conforme a figura:

Como fiz questão de mostrar no desenho, quando unimos os vértices de um hexágono regular com o vértice diagonalmente oposto, formamos 6 triângulos equiláteros. Ou seja, além dos lados do hexágono terem tamanho igual, a distância de qualquer vértice ao centro desse hexágono, também é igual ao lado dele.

Isso facilita muito os cálculos, conforme pode ser visto logo mais.

Como o exercício nos dá (a1, a2) e (b1, b2), temos que partir desses pontos para determinar os outros.

Seja 'd' o tamanho de cada lado do hexágono. Assim, a distância do ponto A ao ponto B é d, o mesmo do ponto B ao ponto C, etc..

Porém, se traçarmos uma reta horizontal passando por A, temos que o lado AB forma um ângulo de 30° com essa reta, assim, a projeção desse lado nessa reta passa a ser d*cos(30°), e a projeção de d numa reta vertical passando por B mede d*sen(30°)

Adotando um sistema de referência xy, como na parte inferior da figura abaixo, onde x cresce para a direita e y para cima:

Podemos observar nessa figura que:

a1 - d*cos(30°) = b1

a2 - d*sen(30°) = b2

Assim como:

b1 = c1

b2 - d = c2

O raciocínio feito no primeiro caso pode ser feito para achar d1 e d2:

d1 - d*cos(30°) = c1 = b1

d2 + d*sen(30°) = c2 = b2 - d

O mesmo para achar e1 e e2

e1 - d*cos(30°) = d1 = b1 + d*cos(30°), logo

e1 = b1 + 2d*cos(30°)

e2 - d*sen(30°) = d2 = b2 - d - d*sen(30°), logo

e2 = b2 - d. (O mesmo que c2, como era de se esperar)

f1 = e1 = b1 + 2d*cos(30°)

f2 = e2 + d = b2 . (f2 = b2, o que era esperado também)

Assim, temos todos os pontos em função de b1, b2 e de 'd'. Porém 'd' é o comprimento de um dos lados do hexágono, ou seja, é a distância do ponto A ao ponto B. Como a distância entre dois pontos é dada pela fórmula:

Basta substituir este d que temos todos os pontos em função de a1, a2, b1 e b2, ficando:

c1 = b1

c2 = b2 - d = b2 - √[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]

d1 = b1 + d*cos(30°) = b1 + {√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

d2 = b2 - d*(1+sen(30°)) = b2 - {√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(3/2)

e1 = b1 + 2d*cos(30°) = b1 + 2*{√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

e2 = b2 - d = b2 - √[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]

f1 = b1 + 2d*cos(30°) = b1 + 2*{√[(a1 - b1)² + (a2 - b2)²]}*(√3/2)

f2 = b2