Exercício resolvido - Conjuntos

Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia.
Um levantamento forneceu as informações de que:

I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia.

II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.

III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.

IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.

Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é:

Solução:
Inicialmente, sabemos que um auditor é formado em pelo menos um dos cursos:
Administração
Ciências contábeis
Economia

Então podemos ter:
Formados em Administração apenas: vou chamar esse grupo de A
Formados em Ciências Contábeis apenas: vou chamar esse grupo de CC
Formados em Economia apenas: vou chamar esse grupo de E
Formados em Administração e Ciências Contábeis apenas: vou chamar esse grupo de ACC
Formados em Administração e Economia: vou chamar esse grupo de AE
Formados em Economia e Ciências Contábeis: vou chamar esse grupo de ECC
Formados nos três cursos: vou chamar esse grupo de AECC

Assim, sabemos que:
Total:
(1) A + CC + E + ACC + AE + ECC + AECC = 100%
Formados em administração:
(2) A + ACC + AE + AECC = 50%
Formados em Ciências Contábeis:
(3) CC + ACC + ECC + AECC = 60%
Formados em Economia:
(4) E + AE + ECC + AECC = 48%
Formados em Administração e Ciências Contábeis:
(5) ACC + AECC = 20%
Formados em Administração e Economia:
(6) AE + AECC = 10%
Formados em Ciências Contábeis e Economia:
(7) ECC + AECC = 30%

Queremos saber a porcentagem de formados em pelo menos dois cursos, ou seja:
AE + ACC + ECC + AECC = ???

Das equações (2), (3) e (4), podemos obter valores para A, CC e E:
A = 50 - ACC - AE - AECC
CC = 60 - ACC - ECC - AECC
E = 48 - AE - ECC - AECC

Substituindo esses valores em (1):
(50 - ACC - AE - AECC) + (60 - ACC - ECC - AECC) + (48 - AE - ECC - AECC) + ACC + AE + ECC + AECC = 100
158 - 3AECC - 2ACC - 2AE - 2ECC + ACC + AE + ECC + AECC = 100
58 - 2AECC - ACC - AE - ECC = 0
ACC + AE + ECC + 2AECC = 58

Somando-se as equações (5), (6) e (7) temos:
ACC + AE + ECC + 3AECC = 60

Combinando essas duas equações sublinhadas, percebemos que AECC = 2%
Logo ACC + AE + ECC + AECC = 56%

Assim, escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é de 56%.