Exercício Resolvido - Cálculo da derivada por método numérico

Dado os valores de x e f(x) abaixo:
x:     00 02 04 06 08 10 12
f(x): 10 18 24 21 20 18 15

Estime:
a) f ' (2)
b) f ' (x) parece ser positivo para que valores de x? E negativo?

Solução:
Existem vários métodos para este tipo de aproximação. Vou utilizar aqui o mais intuitivo, sem utilizar conceitos de cálculo numérico.

a) Da definição de derivada temos que:

Porém neste caso não temos os valores para todo x. Logo, podemos fazer uma aproximação da derivada de f(x) no ponto 2 pelos pontos vizinhos a este, ou seja, x = 0 e x = 4, da seguinte forma;

f ' (2) ≅ [f(0) - f(2)] / (0 - 2) = (10 - 18) / (-2) = 4
f ' (2) ≅ [f(4) - f(2)] / (4 - 2) = (24 - 18) / 2 = 3

Ou ainda

f ' (2) ≅ [f(4) - f(0)] / (4 - 0) = (24 - 10) / 4 = 3,5

Destes três resultados, é possível mostrar que o último apresenta um erro menor. Observando mais atentamente, nota-se que o último resultado nada mais é do que a média dos dois primeiros.

b) Não tem outra forma, tem que fazer um por um.
- No ponto x = 0:
f ' (0) ≅ [f(2) - f(0)] / (2 - 0) = 8/2 = 4
Neste ponto, não temos como fazer três análises, já que não conhecemos o valor de f(x) para x < 0.

- No ponto x = 2 (já foi feito)

- No ponto x = 4
f ' (4) ≅ [f(2) - f(4)] / (2-4) = -6/-2 = 3
f ' (4) ≅ [f(6) - f(4)] / (6-4) = -3/2 = -1,5
Neste ponto ocorre um fenômeno interessante. Ao fazer a estimativa de um lado, temos que a derivada é positiva, de outro lado, negativa. Isso mostra que, se a função for contínua, existe um ponto crítico no intervalo (2, 6), ainda, este ponto é um ponto de máximo já que a derivada aproximando pela esquerda é positiva (função crescente) e pela direita, negativa (decrescente).
f ' (4) ≅ [f(6) - f(2)] / (6-2) = 3/4 = 0,75

- No ponto x = 6
f ' (6) ≅ [f(4) - f(6)] / (4-6) = 3/-2 = -1,5
f ' (6) ≅ [f(8) - f(6)] / (8-6) = -1/2 = -0,5
f ' (6) ≅ [f(8) - f(4)] / (8-4) = -4/4 = -1

- No ponto x = 8
f ' (8) ≅ [f(6) - f(8)] / (6-8) = 1/-2 = -0,5
f ' (8) ≅ [f(10) - f(8)] / (10-8) = -2/2 = -1
f ' (8) ≅ [f(10) - f(6)] / (10-6) = -3/4 = -0,75

- No ponto x = 10
f ' (10) ≅ [f(8) - f(10)] / (8-10) = 2/-2 = -1
f ' (10) ≅ [f(12) - f(10)] / (12-10) = -3/2 = -1,5
f ' (10) ≅ [f(12) - f(8)] / (12-8) = -5/4 = -1,25

- No ponto x = 12
f ' (12) ≅ [f(10) - f(12)] / (10-12) = 3/-2 = -1,5

Com base nestes dados, podemos dizer que f ' (x) parece ser positivo para:
x = 0, x = 2 e x = 4

Parece ser negativo para:
x = 6, x = 8, x = 10 e x = 12