Exercício Resolvido - Progressão geométrica (PG)

Dado um segmento r, dividimos este segmento em 3 partes iguais, reservando a parte do meio, para cada um dos 2 segmentos restantes, repetimos o processo, reservando suas partes centrais, e repetimos o processo sucessivamente.

Calcule a soma dos segmento reservados.



Solução:
Questão bem elaborada.Vamos inicialmente interpretar o exercício.

Digamos que esta seja a reta r: ---------------------------
Dividimos ela em 3 pedaços iguais: --------- --------- ---------
Pegamos o pedaço central (sublinhado), ficando com os outros dois pedaços restantes: --------- ---------
Esses dois pedaços, dividimos em 3 iguais cada um deles: --- --- --- --- --- ---
E pegamos os pedaços centrais, deixando os outros: --- --- --- ---
Esses 4 pedaços restantes, dividimos em 3 iguais: - - - - - - - - - - - -
E pegamos os pedaços centrais.. Isso fazemos infinitamente. O exercício pede que seja calculada a soma dos pedaços centrais que pegamos:

Vejamos qual a lógica.
- Inicialmente, tínhamos uma reta r de tamanho x.
- Dividimos ela em 3 pedaços e ficamos com um pedaço de tamanho x/3.
- Depois, os outros dois que restaram de tamanho x/3, dividimos em 3 pedaços cada um, de tamanho x/9, e pegamos um pedaço de cada uma da retas, ou seja, pegamos 2 pedaços de x/9 = 2x/9.
- Assim nos restaram 4 pedaços de tamanho x/9, cada um deles dividimos em 3 pedaços, de tamanho x/27, pegamos então os centrais, que agora são 4, de tamanho x/27 cada = 4x/27.

Os termos da sequência dos pedaços centrais são:
x/3 , 2x/9 , 4x/27 , 8x/81 , ...
O termo geral dessa sequência é:

Onde x é o tamanho original da reta e n tende ao infinito.
Desta forma, o primeiro termo da PG é:

a1 = x/3

A razão é:

q = 2/3.

A fórmula da soma da PG infinita é:

Neste caso, 1-q = 1/3
Logo, (x/3)/(1/3) = x
Ou seja, se pegarmos todos os elementos centrais infinitamente, teremos, no fim, a reta inteira.