Exercício Resolvido - Integral de √(4 /x⁴-x²)

Calcule a integral de ∫ √(4 /x⁴-x²) dx.

Solução:
Trabalhando o integrando:
√(4 /x⁴-x²) = 2/[x*√(x²-1)]
∫ √(4 /x⁴-x²) dx =  ∫ 2/[x*√(x²-1)] dx = 2 ∫ 1/[x*√(x²-1)]

Agora, perceba que x²-1 tem que ser > 0, pois esta dentro de uma raiz e é denominador. Disso nós tiramos que x < -1 e x > 1. Logo, x não pode assumir valores no intervalo [-1,1].
Da trigonometria, sabemos que Sen(t) e Cos(t) sempre possuem valores nesse intervalo, e que Sec(t) e Cossec(t) tem apenas os valores que queremos. Logo, podemos substituir x por Sec(t) ou por Cossec(t).

Vou fazer a substituição:
x = Sec(t)
Logo:
dx = Tan(t)*Sec(t)*dt
Assim, a integral fica:
2 ∫ 1/[x*√(x²-1)] dx = 2*∫ 1/[Sec(t)*√(Sec²(t)-1)] Tan(t)Sec(t)dt
Mas Sec²(t) = 1 + Tan²(t)
Logo, Sec²(t) - 1 = Tan²(t), e √Tan²(t) = Tan(t)

Ficando:
2*∫ 1/[Sec(t)*Tan(t)] Tan(t)*Sec(t)*dt.
Como o numerador é igual ao denominador:
2*∫ 1/[Sec(t)*Tan(t)] Tan(t)*Sec(t)*dt. = 2*∫dt = 2*t

Voltando à substituição, temos que:
Sec(t) = 1/Cos(t) = x
Cos(t) = 1/x
t = ArcCos(1/x)

Logo:
 ∫ √(4 /x⁴-x²) dx = 2*ArcCos(1/x)