a) $\left (x^2 - 4x + 5 \right ) \times \left (-2x - 6 \right ) > 0$
b) $\left ( x^2 - x - 2 \right )\times \left (x^2 + 2x + 3 \right ) < 0 $
Solução:
a) É interessante, neste tipo de exercício fazer a análise separada de cada um dos fatores da multiplicação. Após isso, fica bem mais fácil analisar o produto.
x² - 4x + 5:
Este polinômio não possui raiz real, ou seja, o gráfico dele ou esta todo acima do eixo x, ou todo abaixo. Como o coeficiente de x² é positivo (+1), a única forma deste polinômio não possuir raiz real é tendo o gráfico totalmente acima do eixo x. Ou seja, x² - 4x + 5 é maior que zero para qualquer valor de x.
Assim, o que vai definir o sinal do produto é o polinômio -2x -6, pois se ele for maior que zero, o produto será maior que zero, se menor que zero, o produto também será.
Vamos descobrir quando -2x -6 = 0:
-2x - 6 = 0 $\rightarrow$ -2x = 6
x = -3
Ou seja, para x = -3, o polinômio -2x-6 vale zero. Como este polinômio tem grau 1, ele é uma reta e como o coeficiente de x é negativo (-2), esta reta é decrescente. Assim, -2x-6 > 0 para x < -3.
Logo, a solução do item a) é: x < -3
Gráfico:
b) $ \left ( x^2 - x - 2 \right ) \times \left (x^2 + 2x + 3 \right ) < 0$
Análise de x² - x - 2:
x² - x - 2 = (x+1)*(x-2). Assim, as raízes deste polinômio são: -1 e 2.
Como o coeficiente de x² é positivo (+1), temos que a concavidade desta curva é para cima, logo:
Para x Є (-1, 2), temos que (x² - x - 2) < 0, e para todos os outros valores de x, (x² - x - 2) > 0
Análise de x² + 2x + 3:
x² + 2x + 3 é um polinômio que não possui raiz, assim, como o coeficiente de x² é positivo (+1), temos que sua concavidade é para cima. Desta forma o gráfico dele esta todo acima do eixo x, ou seja, ele é positivo para qualquer x. Sendo assim, quem vai definir qual é o sinal do produto, é o polinômio x² - x - 2.
Como queremos quando o produto é negativo, basta ver quando (x² - x - 2) < 0, que é quando x Є (-1, 2). Assim, a solução para o item b) é x Є (-1, 2).
Gráfico:
Assim, o que vai definir o sinal do produto é o polinômio -2x -6, pois se ele for maior que zero, o produto será maior que zero, se menor que zero, o produto também será.
Vamos descobrir quando -2x -6 = 0:
-2x - 6 = 0 $\rightarrow$ -2x = 6
x = -3
Ou seja, para x = -3, o polinômio -2x-6 vale zero. Como este polinômio tem grau 1, ele é uma reta e como o coeficiente de x é negativo (-2), esta reta é decrescente. Assim, -2x-6 > 0 para x < -3.
Logo, a solução do item a) é: x < -3
Gráfico:
b) $ \left ( x^2 - x - 2 \right ) \times \left (x^2 + 2x + 3 \right ) < 0$
Análise de x² - x - 2:
x² - x - 2 = (x+1)*(x-2). Assim, as raízes deste polinômio são: -1 e 2.
Como o coeficiente de x² é positivo (+1), temos que a concavidade desta curva é para cima, logo:
Para x Є (-1, 2), temos que (x² - x - 2) < 0, e para todos os outros valores de x, (x² - x - 2) > 0
Análise de x² + 2x + 3:
x² + 2x + 3 é um polinômio que não possui raiz, assim, como o coeficiente de x² é positivo (+1), temos que sua concavidade é para cima. Desta forma o gráfico dele esta todo acima do eixo x, ou seja, ele é positivo para qualquer x. Sendo assim, quem vai definir qual é o sinal do produto, é o polinômio x² - x - 2.
Como queremos quando o produto é negativo, basta ver quando (x² - x - 2) < 0, que é quando x Є (-1, 2). Assim, a solução para o item b) é x Є (-1, 2).
Gráfico:
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