Dedução passo-a-passo da fórmula de juros composto para dívidas que são pagas em parcelas iguais
Vou fazer um post hoje que é muito útil. Será mostrado aqui como encontrar a fórmula para calcular a taxa de juros de uma dívida que é parcelada e paga em parcelas únicas.
Solução:
Inicialmente, deve-se ter em mente que esse tipo de dívida funciona de seguinte forma:
Imagine alguém que deve R\$ 100,00 a você e vai lhe pagar uma taxa de 10% de juros ao mês. Assim, após 1 mês, ele lhe deve:
R\$ 100,00 + 10%*(R\$ 100,00) = R\$ 100,00 + 0,1*R\$ 100,00 = 1,1*R\$ 100,00 = R\$ 110,00
R\$ 100,00 + 10%*(R\$ 100,00) = R\$ 100,00 + 0,1*R\$ 100,00 = 1,1*R\$ 100,00 = R\$ 110,00
Agora, digamos que após esse mesmo mês, ele lhe pagou R\$ 15,00. Então agora ele lhe deve:
R\$ 110,00 - R\$ 15,00 = R\$ 95,00
Ou seja, da dívida real reduziu-se R\$ 5,00 apenas.
R\$ 110,00 - R\$ 15,00 = R\$ 95,00
Ou seja, da dívida real reduziu-se R\$ 5,00 apenas.
Passando-se outro mês, a dívida passa a ser:
R\$ 95,00 + 10%*(R\$ 95,00) = R\$ 95,00 + 0,1*R\$ 95,00 = 1,1*R\$ 95,00 = R\$ 104,50
R\$ 95,00 + 10%*(R\$ 95,00) = R\$ 95,00 + 0,1*R\$ 95,00 = 1,1*R\$ 95,00 = R\$ 104,50
E assim segue.
Da mesma forma funciona qualquer dívida.
Para realizar os cálculos e fazer a demonstração, vou utilizar as seguintes letras:
Taxa de juros mensal em porcentagem = J
Valor da parcela paga a cada mês = P
Valor inicial da dívida = V
Número de parcelas = n
O empréstimo é feito no mês 'zero'.
Assim, após o primeiro mês deve-se o valor da dívida mais o juros:
Mas neste momento, é paga a 1ª parcela, passando a ser o valor da dívida:
Mas neste momento, é paga a 1ª parcela, passando a ser o valor da dívida:
Para facilitar a visualização, vou chamar este valor agora de V2, então:
Após 2 meses:
Neste momento, ele novamente vai pagar a parcela, passando a ser sua dívida:
Chamando este valor de V3:
Após 3 meses:
Após isso, claro, será paga uma parcela, passando a ter o valor V4.
É possível perceber uma relação recorrente de Vn:
Após isso, claro, será paga uma parcela, passando a ter o valor V4.
É possível perceber uma relação recorrente de Vn:
Onde V1 = V que é o valor inicial da dívida.
Manipulando um pouco a equação geral de recorrência acima, é possível perceber propriedades interessantes. Veja abaixo:
Substituindo:
Usando:
Teremos:
Percebam que os termos que multiplicam o fator P são termos de uma PG onde:
e a razão
Usando a fórmula da soma da PG podemos simplificar a fórmula para:
Aqui fica mais fácil perceber qual deve ser a equação de Vn em função de V, que é o valor inicial da dívida.
Porém, Vn tem que ser nulo, já que queremos que após n meses a dívida esteja totalmente paga. Portanto, basta igualar o resultado obtido acima a zero:
Manipulando temos:
Agora, esta fórmula pode ser manipulada como se desejar.
Exemplo: Caso deseja-se calcular a parcela a ser paga dado que:
Se a taxa de juros for 5% → J = 5
O empréstimo for de R$ 1.000,00 → V = 1000
O tempo para pagar de 10 meses → n = 10
Vamos calcular o valor da parcela:
Isolando P na fórmula acima:
Substituindo os valores
Como
Manipulando um pouco a equação geral de recorrência acima, é possível perceber propriedades interessantes. Veja abaixo:
Substituindo:
Usando:
Teremos:
Percebam que os termos que multiplicam o fator P são termos de uma PG onde:
e a razão
Usando a fórmula da soma da PG podemos simplificar a fórmula para:
Aqui fica mais fácil perceber qual deve ser a equação de Vn em função de V, que é o valor inicial da dívida.
Porém, Vn tem que ser nulo, já que queremos que após n meses a dívida esteja totalmente paga. Portanto, basta igualar o resultado obtido acima a zero:
Manipulando temos:
Agora, esta fórmula pode ser manipulada como se desejar.
Exemplo: Caso deseja-se calcular a parcela a ser paga dado que:
Se a taxa de juros for 5% → J = 5
O empréstimo for de R$ 1.000,00 → V = 1000
O tempo para pagar de 10 meses → n = 10
Vamos calcular o valor da parcela:
Isolando P na fórmula acima:
Substituindo os valores
Como
Ou seja, nestas condições, R\$ 129,50 deve ser a parcela. Este não é o valor exato, que é dado por R\$ 129,5046, porém, por ser um valor monetário, só pode ter duas casas após a vírgula. Vaja como ficaria:
Perceba que o valor da dívida, após os 10 meses, fica em R\$ 0,06. Ele não zera devido ao resultado não ser exato, já que a parcela deveria ser R\$ 129,504574965...
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Perceba que o valor da dívida, após os 10 meses, fica em R\$ 0,06. Ele não zera devido ao resultado não ser exato, já que a parcela deveria ser R\$ 129,504574965...