Exercício Resolvido - Cálculo de área entre as curvas

Quanto vale a área formada pelas curvas y = x, y = x/4 e y = 1/x, para x > 0 ?

Solução:
É muito interessante que seja feito o desenho destes gráficos para melhor entendimento. Como deseja-se para x > 0, temos:

Inicialmente, devemos calcular os pontos em que a curva y = 1/x corta as retas.

Ponto em que corta y = x:
neste ponto, y = 1/y (pois y = x). São dois os pontos, x = y = 1 e x = y = -1 (1,1) e (-1,-1). O primeiro é que é válido já que queremos x > 0.

Ponto em que corta y = x/4

neste ponto, x/4 = 1/x, x² = 4, logo x = 2 e x = -2. Como queremos x > 0, y = 1/2, ponto (2, 1/2).

Agora, para calcular a área desejada, vamos dividi-la em duas, conforme pode ser visto na figura a seguir:



Inicialmente calculamos a área do triângulo (0,0) , (1,1) , (1, 1/4) que vale 3/8. Para calcular esta área basta considerar a base como sendo a linha que une os pontos (1,1/4) e (1,1), que mede b = 3/4. Neste caso a altura do triângulo será de h = 1. Assim:
A1 = b*h/2 = 3/8

Agora, nos resta calcular a área limitada pela curva y = 1/x e as retas y = x/4 e x = 1, em amarelo.

Para isso, vou calcular a área abaixo da curva y = 1/x para o intervalo 1 < x < 2.

E agora basta subtrair o valor da área do trapézio formado pelos pontos:
(1, 1/4) , (2, 0.5) , (1,0) e (2,0), que vale: 3/8

Logo, a área total é:

3/8 + ln[2] - 3/8 = ln[2]