Exercício Resolvido - Lugar Geométrico

Se o ponto P(x,y) é tal que sua distância do ponto A(3,2) é sempre duas vezes a sua distância de B(4,1), encontre uma equação que deve ser satisfeita pelas coordenadas de P.

Solução:
Distância do ponto P ao ponto A é:
√[(x-3)² + (y-2)²].

Vou chamar esta distância de 'd'
d = √[(x-3)² + (y-2)²]

Distância do ponto P ao ponto B é:
2d = √[(x-4)² + (y-1)²]

Multiplicando a distância do ponto P ao ponto A por 2 e igualando à distância do ponto P ao ponto B temos:
2*√[(x-3)² + (y-2)²] = √[(x-4)² + (y-1)²]

Elevando os dois lados ao quadrado:
4*[(x-3)² + (y-2)²] = [(x-4)² + (y-1)²]
4*[x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4] = x² - 8x + 16 + y² - 2y + 1
4x² - 24x + 52 + 4y² - 16y = x² - 8x + 16 + y² - 2y + 1
3x² + 3y² - 16x - 14y + 35 = 0

Como x² e y² tem coeficientes iguais, podemos afirmar que esta é a equação de uma circunferência. Para saber qual é o centro e o raio desta circunferência, procedemos da seguinte forma:
3x² + 3y² - 16x - 14y + 35 = 0

Agrupamos os termos que multiplicam 'x' e 'y' e isolamos, do lado direita da igualdade, os termos independentes:
3x² - 16x + 3y² - 14y = -35

Somamos constantes de ambos os lados da igualdade de forma conveniente a ter quadrados perfeitos:
(3x² - 16x + 64/3) + (3y² - 14y + 49/3) = -35 + 64/3 + 49/3 = -35 + 113/3 = 8/3

Dividindo tudo por 3, para deixar x² e y² sem coeficientes:
[x² - (16/3)x + 64/9] + [y² - (14/3)y + 49/9] = 8/9
(x - 8/3)² + (y - 7/3)² = [(2/3)*√2]²

Centro: ( 8/3 , 7/3)
Raio : (2/3)*√2