Progressão Aritmética (PA)

Pessoal, eventualmente, vou postar algumas aulas aqui, desenvolvidas por mim. Qualquer dúvida que alguém possa ter, deixe nos comentários que vou procurar sanar.

PA:

Na matemática existe uma matéria muito importante chamada sequências. Dela e da teoria de conjuntos, por incrível que possa parecer, nasce todo o cálculo de limites e por consequência, derivada e integral.

Hoje vamos falar das progressões aritméticas.

PA é uma sequência que possui um termo inicial, geralmente chamado de a₁ e uma razão r. A partir do primeiro termo e da razão, obtemos os termos seguintes da seguinte forma:

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r

a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r

...

Desta forma podemos deduzir que a fórmula do termo geral da sequência é:

an = a₁ + (n-1)*r

Ficando:

a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , .... , an uma sequência com n termos. 

Já conseguimos obter a fórmula do termo geral da PA. Outro dado bastante importante de se conseguir calcular é a soma de todos os termos de uma sequência, e na PA não poderia ser diferente.

Então o que queremos é a soma dos termos da PA, esta soma nada mais é do que:

S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + .... + an, ou ainda

S = a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) + ... + [a₁ + (n-1)r]. 

Observe bem e perceba que a soma de todos os termos equidistantes ao centro desta sequência são iguais. Vou ser mais claro.

Se somarmos o 1º termo ao último, é a mesma coisa que somarmos o 2º ao penúltimo, e o 3º ao antepenúltimo ....

Veja:

Somando o 1º ao último

a₁ + an = a₁ + [a₁ + (n-1)r] = 2a₁ + (n-1)r = 2a₁ + n*r- r = 2a₁ + r*(n - 1)

Somando o 2º ao penúltimo:

a₂ + an-1 = (a₁ + r) + [a₁ + (n-2)r] = 2a₁ + r + (n-2)r = 2a₁ + r + n*r - 2r = 2a₁ + n*r - r = 2a₁ + r*(n - 1)

Somando o 3º ao antepenúltimo:

a₃ + an-2 = (a₁ + 2r) + [a₁ + (n-3)r] = 2a₁ + 2r + n*r - 3r = 2a₁ + n*r - r = 2a₁ + r*(n - 1)

Percebeu? Sempre teremos 2a₁ + r*(n - 1).

Desta forma fica fácil calcular a soma da PA, pois como:

S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + .... + an = (a₁ + an) + (a₂ + an-1) + (a₃ + an-2) + ... Onde a soma dentro de cada parênteses desses é igual a [2a₁ + r*(n - 1)]. Ainda, como temos n termos na sequência, teremos (n/2) "parênteses". Assim:

S = [2a₁ + r*(n - 1)] + [2a₁ + r*(n - 1)] + [2a₁ + r*(n - 1)] + ... = (n/2)*[2a₁ + r*(n - 1)]
ou, se conhecemos o último termo da PA:

S = (a₁ + an)*(n/2) ou, se conhecemos o segundo termo e o penúltimo

S = (a₂ + an-1)*(n/2).

...

De acordo com os dados do problema, qualquer uma das fórmulas da soma pode ser aplicada. O que facilita nesse caso é o fato da soma dos termos equidistantes ao centro da sequência ser sempre igual.

Enfim, gosto muito de trabalhar com letras, pois com elas obtemos respostas que podem ser aplicadas sempre. Se deseja conferir, faça uma série de PA de quantos termos desejar, e verifique as propriedades citadas acima.

Exemplo:
Calcule a soma dos números positivos múltiplos de 9 menores que 100.

Solução:
Sabemos que o primeiro termo (a1) é 9 e que esta é a razão também, pois queremos os números múltiplos de 9, ou seja:
9, 18, 27, ...

Como eles devem ser menor que 100, devemos achar o maior número múltiplo de 9 menor que 100, e este número é o 99

Assim, a PA terá 11 termos, pois:
an = a1 + (n-1)*r
99 = 9 + (n-1)*9
90 = 9*(n-1)
n-1 = 10

n = 11

Da fórmula da soma da PA:

S = (a1 + an)*(n/2)
Assim:

S = (9 + 99)*(11/2) = (108)*(11/2) = 54*11 = 594