Exercício Resolvido - Queda Livre e tempo

Um corpo parte do repouso e cai livremente de uma altura H acima do solo. O efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade constante. Se na primeira metade do percurso o corpo gasta um tempo ta , e na segunda metade um tempo tb, determine a razão ta/tb.

Solução:

Vamos calcular o tempo gasto para percorrer a 1ª distância H/2 (ta):

Sabemos que

S = So + Vo*t + a*t²/2
substituindo

H/2 = Ho + Vo*t + g*ta²/2

Ho = 0

Vo = 0 (parte do repouso)

H/2 = g*ta²/2

g*ta² = H

ta² = H/g

ta = √(H/g)

Mas ao chegar neste ponto, a velocidade do corpo é:

V = Vo + a*ta, substituindo temos:

V = 0 + g*ta

V = g*ta.

No segundo percurso de H/2, o corpo já não esta mais em repouso, pois sua velocidade é de V = g*ta

Assim, a equação

S = So + Vo*t + a*t²/2, fica

H = H/2 + (g*ta)*tb + g*tb²/2

H/2 = g*tb*(ta + tb/2).

H = g*tb*(2*ta + tb)

Mas H = g*ta²

g*ta² - 2*g*ta*tb - g*tb² = 0, dividindo tudo por g

ta² - 2*ta*tb - tb² = 0

Dividindo tudo por tb² temos

(ta/tb)² - 2*(ta/tb) - 1 = 0

Seja x = ta/tb

x² - 2x - 1 = 0

Raizes de uma equação do 2º grau.

Resolvendo temos que

x1 = (2 + 2*√2)/2 = 1+√2

x2 = 1 - √2, que é negativa, portanto não serve, já que os tempos são positivos

Mas x = ta/tb

Logo, 1+√2 é a resposta.